Hàm số bậc 2 là một khái niệm quan trọng trong môn toán lớp 10. Để vẽ được đồ thị của hàm số bậc 2, ta cần nắm vững kiến thức về định nghĩa và chiều biến thiên của hàm số bậc hai. Bài viết này sẽ giới thiệu chi tiết cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2 và cung cấp các ví dụ minh họa.
Mục lục
Lý thuyết chung về hàm số bậc 2 lớp 10
Trước khi bắt đầu học vẽ đồ thị của hàm số bậc 2, các bạn học sinh cần nắm vững những kiến thức cơ bản về hàm số bậc hai như định nghĩa và chiều biến thiên.
1.1. Định nghĩa
Hàm số bậc hai lớp 10 được định nghĩa là dạng hàm số có công thức tổng quát là y = ax^2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số cho trước, và a khác 0.
Tập xác định của hàm số bậc hai lớp 10 là D = ℝ.
Biệt thức Delta: Δ = b^2 – 4ac.
1.2. Chiều biến thiên và bảng biến thiên
Xét chiều biến thiên và bảng biến thiên là một bước quan trọng để vẽ được đồ thị của hàm số bậc 2.
Cho hàm số bậc 2 y = ax^2 + bx + c với a > 0, chiều biến thiên của hàm số là:
- Đồng biến trên khoảng (frac{-b}{2a};∞)
- Nghịch biến trên khoảng (-∞; frac{-b}{2a})
- Giá trị cực tiểu của hàm số là (frac{-b}{2a}; frac{-Δ}{4a}). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là frac{-Δ}{4a} tại x = frac{-b}{2a}.
Cho hàm số y = ax^2 + bx + c với a < 0, chiều biến thiên khi đó là:
- Đồng biến trên khoảng (-∞; frac{-b}{2a})
- Nghịch biến trên khoảng (frac{-b}{2a};∞)
- Giá trị cực đại của hàm số bậc 2 đạt tại (frac{-b}{2a}; frac{-Δ}{4a}). Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số là frac{-Δ}{4a} tại x = frac{-b}{2a}.
Đồ thị hàm số bậc 2 có dạng như thế nào?
2.1. Cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2
Để vẽ đồ thị của hàm số bậc 2, ta có thể tuỳ theo từng trường hợp để sử dụng 1 trong 2 cách sau đây.
Cách 1 (cách này có thể dùng cho mọi trường hợp):
- Xác định toạ độ đỉnh I.
- Vẽ trục đối xứng của đồ thị.
- Xác định toạ độ các giao điểm của parabol lần lượt với trục tung và trục hoành (nếu có).
Cách 2 (sử dụng cách này khi đồ thị hàm số có dạng y = ax^2):
- Đồ thị hàm số bậc 2 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) có thể suy ra từ đồ thị hàm y = ax^2 bằng cách:
- Nếu frac{b}{2a} > 0 thì tịnh tiến song song với trục hoành frac{b}{2a} đơn vị về phía bên trái, về bên phải nếu frac{b}{2a} < 0.
- Nếu frac{-Δ}{4a} > 0 thì tịnh tiến song song với trục tung -|frac{Δ}{4a}| đơn vị lên trên, xuống dưới nếu frac{-Δ}{4a} < 0.
Đồ thị hàm số y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) có dạng như sau:
Đồ thị hàm số bậc hai lớp 10 y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) có những đặc điểm sau:
- Đỉnh: I(frac{-b}{2a}; frac{-Δ}{4a})
- Trục đối xứng: đường thẳng x = frac{-b}{2a}
- Nếu a > 0, phần lõm của parabol quay lên trên; nếu a < 0, phần lõm của parabol quay xuống dưới.
- Giao điểm với trục tung: A(0; c)
- Hoành độ giao điểm với trục hoành (nếu có) là nghiệm của phương trình ax^2 + bx + c = 0.
Lưu ý: Để vẽ đồ thị hàm số bậc 2 chứa trị tuyệt đối y = ax^2 + bx + c ta làm theo các bước sau:
- Trước hết ta vẽ đồ thị (P): ax^2 + bx + c
- Ta có:
- Nếu a > 0, đồ thị hàm số bậc 2 bao gồm 2 phần:
- Phần 1: Chính là đồ thị hàm số bậc 2 (P) lấy phần phía trên trục Ox.
- Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (P) phía dưới trục Ox qua trục Ox.
- Nếu a < 0, ta làm tương tự như trường hợp trên, nhưng phần đồ thị phải lấy đối xứng qua trục Ox.
- Nếu a > 0, đồ thị hàm số bậc 2 bao gồm 2 phần:
Vẽ đồ thị hàm số (P1) và (P2), ta được đồ thị hàm số bậc 2 y = ax^2 + bx + c.
2.2. Bài tập ví dụ vẽ đồ thị hàm số bậc 2
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số bậc 2 y = x^2 + 3x + 2
Hướng dẫn giải:
Ta có:
- a = 1, b = 3, c = 2, Δ = (3)^2 – 4 1 2 = 1.
- Toạ độ đỉnh: I(frac{-b}{2a};frac{-Δ}{4a}) = I(frac{-3}{2};frac{-1}{4}) = I(-frac{3}{2};-frac{1}{4})
- Trục đối xứng: x = frac{-b}{2a} = x = frac{-3}{(2)(1)} = x = -frac{3}{2}
- Giao điểm với trục tung: A(0;2)
- Giao điểm với trục hoành là nghiệm của phương trình x^2 + 3x + 2 = 0.
Đồ thị của hàm số bậc 2 y = x^2 + 3x + 2 như sau:
Ví dụ 2 (Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 10 tập 1): Vẽ đồ thị mỗi hàm số bậc hai sau:
a) y = x^2 – 4x – 3
b) y = x^2 + 2x + 1
Hướng dẫn giải:
a) y = x^2 – 4x – 3
Ta có: a = 1, b = -4, c = -3, Δ = (-4)^2 – 4 1 (-3) = 28.
- Toạ độ đỉnh: I(frac{2}{2.1};frac{-Δ}{4a}) = I(2;-frac{7}{4})
- Trục đối xứng: x = 2
- Giao điểm với trục tung là A(0;-3)
- Giao điểm với trục hoành là B(2-3;0) và C(2+3;0)
- Điểm đối xứng với A qua trục x = 2 là D(4;-3)
- Phần lõm của đồ thị hướng lên trên
- Đồ thị hàm số bậc 2 y = x^2 – 4x – 3 có dạng như sau:
b) y = x^2 + 2x + 1
Ta có: a = 1, b = 2, c = 1, Δ = 2^2 – 4 1 1 = 0.
- Toạ độ đỉnh: I(-1;0)
- Trục đối xứng: x = -1
- Giao điểm của parabol với trục tung là A(0;1)
- Giao điểm của parabol với trục hoành là I
- Điểm đối xứng với A qua trục đối xứng x = -1 là B(-2;0)
- Lấy điểm C(1;4) thuộc đồ thị hàm số đề bài, điểm đối xứng C qua trục x = -1 là điểm D(-3;4)
- Phần lõm của đồ thị hướng lên phía trên
- Đồ thị hàm số y = x^2 + 2x + 1 có dạng như sau:
Ví dụ 3: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 2 sau:
- y = x^2 – 3x + 2
- y = -2x^2 + 4
Hướng dẫn giải:
- y = x^2 – 3x + 2
Ta có:
- a = 1, b = -3, c = 2
- Bảng biến thiên:
Xét thấy, đồ thị hàm số y = x^2 – 3x + 2 có đỉnh là I(3/2; -1/4) và đi qua các điểm A(2; 0), B(1; 0), C(0;2). Suy ra, đồ thị hàm số nhận đường x = 3/2 làm trục đối xứng và có bề lõm hướng lên trên. Đồ thị hàm số y = x^2 – 3x + 2 có hình dạng như sau:
- y = -2x^2 + 4
Ta có:
- a = -2, b = 0, c = 4
- Bảng biến thiên:
Xét thấy, đồ thị hàm số có y = -2x^2 + 4 nhận I(0;4) là đỉnh, đi qua các điểm O(0;0), B(2;0). Suy ra, đồ thị hàm số nhận đường x = 0 làm trục đối xứng và có bề lõm hướng xuống dưới. Đồ thị hàm số y = -2x^2 + 4 có dạng như sau:
Luyện tập vẽ đồ thị hàm số bậc 2
Để luyện tập thành thạo các dạng bài tập về đồ thị hàm số bậc 2, hãy thực hành với bộ câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
(Đề thi trắc nghiệm)
Hướng dẫn giải chi tiết có thể xem tại trang web trường học online vuihoc.vn.
Trên đây là toàn bộ kiến thức và phương pháp vẽ đồ thị hàm số bậc 2 lớp 10, kèm theo là một số ví dụ minh họa. Để hiểu rõ hơn về cách vẽ đồ thị hàm số bậc 2 và rèn luyện kỹ năng, hãy tham gia các khoá học trực tuyến tại vuihoc.vn. Chúc các bạn thành công!
