Trong khoa học, công thức là phương pháp trình bày thông tin dưới dạng biểu tượng. Công thức cần đáp ứng yếu tố về tính chính xác và tính tổng quát. Công thức tính khoảng cách là tổ hợp các phương pháp sử dụng để tính khoảng cách giữa các vị trí. Trong chương trình toán học phổ thông, công thức tính khoảng cách được sử dụng để tính khoảng cách giữa các điểm, giữa một điểm và đường thẳng (trong hình học phẳng), giữa một điểm và mặt phẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau (trong hình học không gian).
Mục lục
- 1. Các công thức tính khoảng cách thường dùng
- 1.1. 1. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ
- 1.2. 2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
- 1.3. 3. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
- 1.4. 4. Công thức tính khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau hoặc song song
- 1.5. 5. Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
- 2. Một số bài tập luyện tập về tính khoảng cách
Các công thức tính khoảng cách thường dùng
Để dễ dàng ghi nhớ, chúng ta sẽ sắp xếp các công thức tính khoảng cách từ dễ tới khó (từ hình học phẳng tới hình học không gian), giúp các em học sinh nắm vững và áp dụng trong quá trình giải bài tập.
1. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ
Khoảng cách giữa 2 điểm là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm đó. Khoảng cách này không phải là đường thẳng vô hạn và cũng không phải là đoạn thẳng vuông góc.
Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm như sau:
Trên trục tọa độ Oxy, có điểm A (xA, yA) và điểm B (xB, yB). Khoảng cách giữa 2 điểm A và B được tính như sau:
2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trên trục tọa độ Oxy, có đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M (x0, y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính như sau:
Hướng dẫn chi tiết xem tại: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
3. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P) là khoảng cách từ điểm A tới hình chiếu vuông góc của nó trên (P).
Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), có hai cách thực hiện:
- Cách 1: Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng (P), sau đó tính khoảng cách giữa hai điểm.
- Cách 2: Áp dụng công thức sau (phương pháp nhanh và đơn giản hơn):
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A có tọa độ (α, β, γ) và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Công thức tính khoảng cách từ điểm A đến mặt (P) là:
Chi tiết kiến thức xem tại: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
4. Công thức tính khoảng cách của 2 đường thẳng chéo nhau hoặc song song
Trong hình học không gian, chúng ta đã học về 4 loại mối quan hệ giữa 2 đường thẳng: trùng nhau, song song, chéo nhau và cắt nhau. Khi hai đường thẳng trùng nhau hoặc cắt nhau, khoảng cách giữa chúng bằng 0.
Với hai trường hợp song song và chéo nhau, chúng ta có thể tính khoảng cách giữa chúng bằng cách tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng như sau:
Trong đó:
- M1 và M2 là hai điểm bất kỳ trên đường thẳng thứ nhất và thứ hai.
- V là vectơ chỉ phương bất kỳ của một trong hai đường thẳng.
- Thông thường, M1 có tọa độ (x1, y1, z1) và M2 có tọa độ (x2, y2, z2).
- Thông thường, V có giá trị (a, b, c).
Bài viết có thể tham khảo thêm tại: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
5. Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau. Khi đã biết phương trình của hai mặt phẳng này, chúng ta có thể tính khoảng cách giữa chúng bằng công thức sau:
(P): ax + by + cz + d = 0
(Q): ax + by + xz + d’ = 0
Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
Để nắm vững kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập trong đề thi THPT Quốc gia, hãy tham khảo bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC.
Một số bài tập luyện tập về tính khoảng cách
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, ta có hai mặt phẳng lần lượt có phương trình dạng:
(α): x – 2y + z + 1 = 0
(β): x – 2y + z + 3 = 0.
Hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β)?
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách của hai mặt phẳng song song, ta có:
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là:
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (α) // (β), và khoảng cách giữa chúng là 3. Phương trình của hai mặt phẳng lần lượt là:
(α): 2x – 5y – 3z + 1 = 0
(β): ax + by + cz + d2 = 0
Hãy xác định phương trình của mặt phẳng (β).
Hướng dẫn giải:
Vì (α) // (β) và khoảng cách giữa chúng là 3, ta có phương trình của mặt phẳng (β) dạng:
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A và B có tọa độ lần lượt là A(3, 5) và B(2, 7). Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm, ta có:
Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là:
Trên đây là toàn bộ công thức tính khoảng cách được VUIHOC tổng hợp. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ công thức và cách áp dụng chúng trong các bài tập toán học. Để biết thêm kiến thức về các môn học khác, hãy truy cập trực tiếp vuihoc.vn. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới.