Hãy cùng tìm hiểu cách tìm giao điểm của đồ thị hàm số một cách cực hay trong môn Toán lớp 12. Với phương pháp giải và ví dụ minh họa đầy đủ, cùng với bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết, chắc chắn bạn sẽ ôn tập tốt và biết cách làm các dạng bài tập này để đạt được điểm cao trong bài thi.
Mục lục
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Bài toán tổng quát
Để xác định giao điểm của hai đồ thị hàm số trong mặt phẳng (Oxy), chúng ta cần tìm hoành độ của điểm giao nhau bằng cách giải hệ phương trình:
f(x) = g(x)Trong đó, f(x) và g(x) lần lượt là hai hàm số có đồ thị là (C1) và (C2). Nếu (C1) và (C2) có giao điểm M(x, y), thì tọa độ của M chính là nghiệm của phương trình (). Nếu () vô nghiệm, hai đồ thị không có điểm giao nhau. Nếu (*) có n nghiệm, thì (C1) và (C2) có n điểm giao nhau.
2. Phương pháp chung
Để giải một bài toán về tính chất giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2), ta có thể thực hiện theo các bước sau:
- Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2), tức là phương trình (*).
- Biến đổi phương trình này về dạng đơn giản hơn.
- Dựa vào điều kiện của bài toán ban đầu, ta đưa về điều kiện cho phương trình vừa biến đổi.
3. Bài toán tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số
Hãy xem qua một số ví dụ minh họa để hiểu rõ hơn cách tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1 và đường thẳng y = 1.
- Phương trình hoành độ giao điểm: x^3 – 3x^2 + 2x = 0.
- Với x = 0, ta có y = 1.
- Với x = 1, ta có y = 1.
- Với x = 2, ta có y = 1.
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (0, 1), (1, 1) và (2, 1).
Ví dụ 2: Tìm giao điểm giữa đồ thị y = (2x + 1)/(2x – 1) và đường thẳng y = x + 2.
- Phương trình hoành độ giao điểm: (2x + 1)/(2x – 1) = x + 2.
- Điều kiện x ≠ 1/2.
- Phương trình hoành độ giao điểm: 2x^2 + x – 3 = 0.
- Với x = 1, ta có y = 3.
- Với x = -3/2, ta có y = 1/2.
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (1, 3) và (-3/2, 1/2).
Ví dụ 3: Tìm giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = x^4 + 2x^2 – 3 và trục hoành.
- Phương trình hoành độ giao điểm: x^4 + 2x^2 – 3 = 0.
Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là A(-1, 0) và B(1, 0).
B. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C1): y = x^2 – 4 và (C2): y = -x^2 – 2x.
Lời giải:
- Phương trình hoành độ giao điểm: x^2 – 4 = -x^2 – 2x.
- Tọa độ giao điểm cần tìm là A(1, -3) và B(-2, 0).
Câu 3: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C1): y = (2x – 1)/(x + 1) và (C2): y = -3x – 1.
Lời giải:
- Điều kiện x ≠ -1.
- Phương trình hoành độ giao điểm: (2x – 1)/(x + 1) = -3x – 1.
- Tọa độ giao điểm cần tìm là A(0, -1) và B(-2, 5).
Câu 4: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C1): y =√x và (C2): y = x – 2.
Lời giải:
- Điều kiện x ≥ 0.
- Phương trình hoành độ giao điểm: √x = x – 2.
- Tọa độ giao điểm cần tìm là A(1, -1) và B(4, 2).
Câu 5: Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng d: y = x + 1 và (C): y = (2x + 4)/(x – 1). Tìm tọa độ trung điểm I của MN.
Lời giải:
- Điều kiện x ≠ 1.
- Phương trình hoành độ giao điểm: (2x + 4)/(x – 1) = x + 1.
- Tọa độ giao điểm cần tìm là I(1, 2).
Câu 6: Biết tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (H): y = (x + 2)/(x + 1) và (C): y = 2x^4 – x^2 cắt nhau tại I. Tìm tọa độ giao điểm I.
Lời giải:
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (H): y = 1.
- Phương trình hoành độ giao điểm: 2x^4 – x^2 -1 = 0.
- Tọa độ giao điểm cần tìm là I(1, 1), (-1, 1).
Câu 7: Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị hàm số (C): y = (x^2 – 2x – 3)/(x – 1) và đường thẳng d: y = x + 1.
Lời giải:
- Điều kiện x ≠ 1.
- Phương trình hoành độ giao điểm: (x^2 – 2x – 3)/(x – 1) = x + 1.
- Tọa độ giao điểm cần tìm là (-1, 0).
Câu 8: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x^4 – 4x^2 – 2 có đồ thị (C) và đồ thị (P): y = 1 – x^2.
Lời giải:
- Phương trình hoành độ giao điểm: x^4 – 3x^2 – 3 = 0.
- Phương trình có S > 0 và P < 0, nên có 2 nghiệm dương.
- Số giao điểm cần tìm là 2.
Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã hiểu cách tìm giao điểm của đồ thị hàm số cực hay trong môn Toán lớp 12. Hãy ôn tập kỹ và giải thật nhiều bài tập để cải thiện kỹ năng của bạn. Chúc bạn thành công!
