Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz. Đây là một phương pháp quan trọng và hữu ích để giải các bài toán liên quan đến không gian Oxyz. Chúng ta sẽ có ví dụ minh họa để dễ dàng hiểu và vận dụng phương pháp này.
Cách viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz
Để viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng ta có thể sử dụng một trong ba cách sau đây: Vectơ pháp tuyến (VTPT), Vectơ chỉ phương (VTCP).
- Cho hai mặt phẳng: mp(∝): Ax + By + Cz + D = 0 và mp(β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0.
Cách giải 1:
- Bước 1: Giải hệ { Ax+By+Cz+D=0, A’x+B’y+C’z+D’=0 } để tìm điểm M0(x0;y0;z0) thuộc đường thẳng (d).
- Bước 2: Tính vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).
Cách giải 2:
- Bước 1: Tìm hai điểm A, B thuộc đường thẳng (d).
- Bước 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Cách giải 3:
- Đặt một trong ba ẩn bằng tham số t (ví dụ: x = t).
- Giải hệ phương trình với hai ẩn còn lại theo tham số t, sau đó suy ra phương trình tham số của đường thẳng (d).
Ví dụ viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian Oxyz
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 3 = 0 và (Q): x + y + z – 1 = 0.
Giải theo cách 1:
- Tìm một điểm thuộc đường thẳng (d) bằng cách giải hệ phương trình: { 2x + y – z – 3 = 0, x + y + z – 1 = 0 }.
- Chọn z = 0 ⇒ x = 2 và y = -1 ⇒ M(2;-1;0) ∈ (d).
- Tính vectơ chỉ phương của (d) là: [1;-3;1].
- Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M0 và có vectơ chỉ phương.
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y – z – 2 = 0 và (Q): 2x + 3y – z = 0.
Giải theo cách 3:
- Điểm M(x;y;z) thuộc đường thẳng (d) khi là nghiệm của hệ phương trình: { x + y – z – 2 = 0, 2x + 3y – z = 0 }.
- Đặt z = t ⇒ x = 6 + 2t, y = -4 – t ⇒ M(x;y;z) = (-2 + 2t; -4 – t; t).
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x – 3y + z = 0 và (β): x + y – z + 4 = 0.
Giải theo cách 2:
- Tìm hai điểm A, B thuộc đường thẳng (d) bằng cách giải hệ phương trình: { x – 3y + z = 0, x + y – z + 4 = 0 }.
- Cho y = 0 ⇒ x = -2, z = 2 ⇒ A(-2;0;2) ∈ (d).
- Cho y = 1 ⇒ x = -1, z = 4 ⇒ B(-1;1;4) ∈ (d).
- Tính vectơ chỉ phương của (d) là: [1;1;2].
- Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A và B.
