Hai mặt phẳng vuông góc với nhau có thể được chứng minh bằng cách thực hiện các bước sau:
Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, chúng ta có thể chứng minh:
- Một đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại, một đường thằng nào đó nằm trong mặt phẳng (Q) và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90°.
Bài tập chứng minh hai mặt phẳng vuông có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho hình chóp (S.ABC) có đáy là tam giác (ABC) vuông tại (B) và (S) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh ((SBC) bot (SAB)).
b) Gọi (AH) và (AK) lần lượt là đường cao trong tam giác (SAB) và (SAC). Chứng minh ((SBC) bot (AKH)).
c) Gọi (D) là giao điểm của (HK) và (BC). Chứng minh ((SAD) bot (SAC)).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (S) nằm trong mặt phẳng (ABC) nên (S bot BC).
Tam giác (ABC) vuông tại (B) nên (AB bot BC).
Từ đó suy ra (BC bot (SAB)) và (S) nằm trong mặt phẳng (SAB).
Do đó ((SBC) bot (SAB)).
b) Do (BC bot (SAB)) suy ra (BC bot AH).
Mặt khác, (AH bot SC) nên (AH bot (SBC)).
Từ đó suy ra ((AHK) bot (SBC)).
c) Ta có: (AH bot (SBC)) suy ra (AH bot SC).
Mặt khác, (AK bot SC) nên (SC bot (AHK)) hay (SC bot (AKD)).
Suy ra (AD bot SC) và (SA bot AD) nên (AD bot (SAC)).
Bài tập 2: Cho tứ diện (ABCD) có cạnh (AB) vuông góc với mặt phẳng (BCD). Trong tam giác (BCD) vẽ các đường cao (BE) và (DF) cắt nhau tại (O). Trong mặt phẳng (ACD) vẽ (DK) vuông góc với (AC) tại (K). Gọi (H) là trực tâm của tam giác (ACD).
a) Chứng minh mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (ABE) và mặt phẳng (ADC) vuông góc với mặt phẳng (DFK).
b) Chứng minh (OH) vuông góc với mặt phẳng (ACD).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (BE bot CD) và (AB bot CD) suy ra (CD bot (ABE)).
Mà (CD) là cạnh của tứ diện (ABCD) nên (CD bot (ADC)).
Ta cũng có: (DF bot BC) và (DF bot AB) suy ra (DF bot (ABC)).
Mặt khác, (DK bot AC) nên (AC bot (DKF)) hay ((ACD) bot (DFK)).
b) Do (CD bot (ABE)) suy ra (CD bot AE).
Ta có: ((ACD) bot (ABE)), ((ACD) bot (DFK)) và (OH = (ABE) cap (DFK)).
Từ đó suy ra (OH bot (ACD)).
Bài tập 3: Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thoi tâm (O) cạnh (a) và (BD = a). Biết cạnh (SA = frac{asqrt{6}}{2}) và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng:
a) ((SAC) bot (SBD)).
b) ((SCD) bot (SBC)).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (SA) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) suy ra (SA bot BD).
Mặt khác (ABCD) là hình thoi nên (AC bot BD).
Do đó (BD bot (SAC)) suy ra ((SBD) bot (SAC)).
b) Dựng (OH bot SC).
Do (BD bot (SAC)) suy ra (BD bot SC).
Suy ra (SC bot (DHB)).
Như vậy (widehat{DHB}) là góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
Bài tập 4: Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình chữ nhật, biết (AB = a), (AD = asqrt{2}), (SA = a) và (S) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi (M) là trung điểm của (AD), (I) là giao điểm của (BM) và (AC). Chứng minh rằng ((SAC) bot (SMB)).
Lời giải chi tiết
Ta có: (tan widehat{CAD} = frac{CD}{AD} = frac{a}{asqrt{2}} = frac{1}{sqrt{2}}).
Mặt khác (tan widehat{AMB} = frac{AB}{AM} = frac{a}{frac{asqrt{2}}{2}} = sqrt{2}).
Do (tan widehat{CAD} = cot widehat{AMB}) suy ra (widehat{CAD} + widehat{AMB} = 90^circ).
Suy ra (widehat{AIM} = 90^circ) suy ra (AC bot BM) tại (I).
Mặt khác (SA bot (ABCD)) suy ra (SA bot BM).
Do đó (BM bot (SAC)) suy ra ((SMB) bot (SAC)).
Bài tập 5: Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh (2a), tam giác (SAB) cân tại (S) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi (H) là trung điểm của (AB). Biết (SA = SB = asqrt{2}).
a) Chứng minh rằng (SH bot (ABCD)).
b) Chứng minh tam giác (SBC) vuông.
c) Chứng minh ((SAD) bot (SAB)) và ((SAD) bot (SBC)).
Lời giải chi tiết
a) Do tam giác (SAB) cân tại (S) nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra (SH bot AB).
Mặt khác ((SAB) bot (ABCD)) và (AB = (SAB) bot (ABCD)) suy ra (SH bot (ABCD)).
b) Do (SH bot (ABCD)) suy ra (SH bot BC).
Mặt khác (BC bot AB) suy ra (BC bot (SAB)) suy ra tam giác (SBC) vuông tại (B).
c) Tương tự như câu b, ta chứng minh được (AD bot (SAB)) suy ra ((SAD) bot (SAB)).
Mặt khác (SA^2 + SB^2 = AB^2 = 4a^2) suy ra tam giác (SAB) vuông tại (S) suy ra (SA bot SB).
Lại có: (AD bot (SAB)) suy ra (AD bot SB) suy ra ((SBC) bot (SAD)).
Bài tập 6: Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh (a). Mặt bên (SAD) là tam giác cân tại (S) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi (M), (N), (P) lần lượt là trung điểm của (SB), (BC) và (CD).
a) Chứng minh ((SAD) bot (SAB)).
b) Chứng minh (AM bot BP) và ((SBP) bot (AMN)).
Lời giải chi tiết
a) Gọi (H) là trung điểm của (AD).
Do tam giác (SAD) cân tại (S) nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra (SH bot AD).
Mặt khác ((SAD) bot (ABCD)) và (AD = (SAD) bot (ABCD)) suy ra (SH bot (ABCD)).
b) Do (SH bot (ABCD)) suy ra (SH bot BC).
Mặt khác (BB’ bot (ABC)) suy ra (BB’ bot SH).
Suy ra (AH bot (BCC’B’)) suy ra ((AHK) bot (BCC’B’)).
Mặt khác (AH bot (BCC’B’)) suy ra (AH bot B’C’).
Lại có: (AK bot B’C’) suy ra (B’C’ bot (AHK)) suy ra ((AHK) bot (AB’C’)).
Do đó (BP bot (AMN)) và (BP bot AM).
Bài tập 7: Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông, (S) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
a) Chứng minh ((SAC) bot (SBD)).
b) Chứng minh ((SAD) bot (SCD)).
c) Gọi (BE) và (DF) là đường cao trong tam giác (SBD). Chứng minh rằng ((ACF) bot (SBC)) và ((AEF) bot (SAC)).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (ABCD) là hình vuông nên (AC bot BD).
Mặt khác (S) nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra (S bot BD).
Do đó (BD bot (SAC)) suy ra ((SBD) bot (SAC)).
b) Ta có: (AD bot AB) và (AD bot SA) suy ra (AD bot (SAB)).
Do đó ((SAD) bot (SAB)).
c) Ta có: (AD bot (SAB)) suy ra (AD bot SB).
Mặt khác (DF bot SB) suy ra ((ADF) bot SB) suy ra (AF bot SB).
Lại có: (BC bot AB) và (BC bot SA) suy ra (BC bot (SAB)).
Do đó (AF bot (SBC)) suy ra ((ACF) bot (SBC)).
Dễ thấy tam giác (SBD) cân tại (S) có 2 đường cao (BE) và (DF) nên (EF parallel BD).
Mặt khác (BD bot (SAC)) suy ra (EF bot (SAC)) suy ra ((AEF) bot (SAC)).
Cách khác: Ta có (AF bot (SBC)) suy ra (AF bot SC).
Chứng minh tương tự ta cũng có: (AE bot SC) suy ra (SC bot (AEF)) suy ra ((SAC) bot (AEF)).
Bài tập 8: Cho tam giác (ABC) vuông tại (A). Vẽ (BB’) và (CC’) cùng vuông góc với ((ABC)).
a) Chứng minh ((ABB’) bot (ACC’)).
b) Gọi (AH), (AK) là các đường cao của tam giác (ABC) và (AB’C’). Chứng minh ((BCC’B’)) và ((AB’C’)) cùng vuông góc với ((AHK)).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (CC’ bot (ABC)) suy ra (CC’ bot AB).
Mặt khác (AB bot AC) suy ra (AB bot (ACC’)) suy ra ((ABB’) bot (ACC’)).
b) Do (AH bot BC), (BB’ bot (ABC)) suy ra (BB’ bot AH) suy ra ((AHK) bot (BCC’B’)).
Mặt khác (AH bot (BCC’B’)) suy ra (AH bot B’C’).
Ta có: (AK bot B’C’) suy ra (AK bot (AHK)) suy ra ((AB’C’) bot (AHK)).
Bài tập 9: Cho hình lăng trụ đứng (ABC.A’B’C’) có đáy (ABC) là tam giác vuông tại (B) với (AB = a), (BC = asqrt{3}), cạnh bên (CC’ = 2a). Điểm (M) là trung điểm của cạnh (AA’).
a) Chứng minh ((ABB’A’) bot (BCC’B’)) và (BM bot C’M).
b) Tính cosin góc giữa mặt phẳng ((BMC’)) và mặt đáy ((ABC)).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: (BB’ bot AB) suy ra (BB’ bot (ABB’A’)).
Mặt khác (ABC) là tam giác vuông tại (B) suy ra (AB bot BC) suy ra (AB bot (BCC’B’)).
Do đó ((ABB’A’) bot (BCC’B’)).
Ta cũng có: (BM = sqrt{AB^2 + AM^2} = asqrt{2}), (BC’ = sqrt{BC^2 + CC’^2} = asqrt{7}), (C’M = sqrt{C’A’^2 + A’M^2} = asqrt{5}).
Do (C’M^2 + M’B^2 = BC’^2) suy ra tam giác (BMC’) vuông tại (M) hay (BM bot C’M).
b) Diện tích tam giác (ABC) là ({{S}{ABC}} = frac{{a^2sqrt{3}}}{2}).
Diện tích tam giác (MBC’): ({{S}{MBC’}} = frac{1}{2}MB cdot MC’ = frac{asqrt{10}}{2}).
Gọi (varphi) là góc giữa mặt phẳng (BMC’) và mặt đáy (ABC).
Do (ABC) là hình chiếu vuông góc của tam giác (MB’C’) lên mặt phẳng (ABC) nên:
[{{S}{ABC}} = {{S}{MBC’}} cdot cos varphi Rightarrow cos varphi = frac{{{{S}{ABC}}}}{{{{S}{MBC’}}}} = sqrt{frac{3}{10}}]
