Bất phương trình bậc nhất là một chủ đề quan trọng trong toán học. Chúng thường được giới thiệu vào lớp 10 và là một phần không thể thiếu của chương trình học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bất phương trình bậc nhất và cách giải các bài toán liên quan.
Lý thuyết
Bất phương trình một ẩn:
- Bất phương trình ẩn x là một mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x) (hoặc f(x) ≤ g(x)), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức của x.
- Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện của ẩn số x để các biểu thức f(x) và g(x) có nghĩa.
- Giá trị thỏa mãn điều kiện xác định sao cho f(x0) < g(x0) (hoặc f(x0) ≤ g(x0)) là một mệnh đề đúng thì x0 là một nghiệm của bất phương trình f(x0) < g(x0) (hoặc f(x0) ≤ g(x0)).
- Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó.
Một số phép biến đổi bất phương trình:
-
Hai bất phương trình tương đương là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng). Ta dùng kí hiệu “⇔” để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
-
Một số phép biến đổi tương đương:
-
Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình P(x) < Q(x); f(x) là biểu thức xác định với ∀x∈D thì:
- P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)
Nhận xét: P(x) < Q(x) + f(x) ⇔ P(x) – f(x) < Q(x)
- P(x) < Q(x) ⇔ P(x) f(x) < Q(x) f(x) nếu f(x) > 0,∀x
P(x) < Q(x) ⇔ P(x) f(x) > Q(x) f(x) nếu f(x) < 0,∀x
- P(x) < Q(x) ⇔ P^2(x) < Q^2(x) nếu P(x) ≥ 0, Q(x) ≥ 0, ∀x.
-
Các dạng toán
Dạng 2.1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất
a. Phương pháp giải:
- Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 với a, b ∈ ℝ.
- Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax + b > 0 (1).
- Nếu a > 0 thì (1) ⇔ ax > -b ⇔ x > -b/a ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = [-b/a; +∞].
- Nếu a < 0 thì (1) ⇔ ax > -b ⇔ x < -b/a ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞; -b/a].
- Nếu a = 0 thì (1) ⇔ 0.x > -b. Khi đó, ta xét:
- Nếu -b ≥ 0 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.
- Nếu -b < 0 ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình sau: mx + 6 < 2x + 3m (1).
Hướng dẫn: Ta có: (1) ⇔ (m-2)x < 3m-6.
- Với m – 2 = 0 ⇔ m = 2: bất phương trình trở thành 0.x < 0, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
- Với m – 2 > 0 ⇔ m > 2: (1) ⇔ x < 3m – 6m – 2 = 3, suy ra bất phương trình có nghiệm x < 3.
- Với m – 2 < 0 ⇔ m < 2: (1) ⇔ x > 3m – 6m – 2 = 3, suy ra bất phương trình có nghiệm x > 3.
Vậy:
- Với m = 2, tập nghiệm của bất phương trình là S = ∅.
- Với m > 2, tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞; 3).
- Với m < 2, tập nghiệm của bất phương trình là S = (3; +∞).
Ví dụ 2: Tìm giá trị thực của tham số m để bất phương trình m^2x – 1 ≥ 2x + 1 có tập nghiệm là S = [1; +∞].
Hướng dẫn:
Bất phương trình tương đương với 2m – 2x ≥ m + 1.
- Với 2m – 2 = 0 ⇔ m = 1: bất phương trình trở thành 0.x ≥ 2, suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Do đó m = 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
- Với 2m – 2 > 0 ⇔ m > 1, bất phương trình tương đương với x ≥ (m + 1)/(2m – 2) ⇒ S = (m + 1)/(2m – 2); +∞.
Do đó, yêu cầu bài toán ⇔ (m + 1)/(2m – 2) = 1 ⇔ m = 3 (thỏa mãn m > 1).
- Với 2m – 2 < 0 ⇔ m < 1, bất phương trình tương đương với x ≤ (m + 1)/(2m – 2) ⇒ S = (-∞; (m + 1)/(2m – 2)).
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Dạng 2.2: Dấu của nhị thức bậc nhất
a. Phương pháp giải:
- Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f(x) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0.
- Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất: Nhị thức f(x) = ax + b (a ≠ 0) cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-b/a; +∞) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-∞, -b/a).
Ta có bảng xét dấu của nhị thức f(x) = ax + b (a ≠ 0) như sau:
| x < -b/a | -b/a < x |
|---|---|
| + | – |
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét dấu nhị thức: f(x) = 16 – 8x.
Hướng dẫn: Ta thấy nhị thức f(x) có nghiệm x = 2, hệ số a = -8 < 0 nên ta có bảng xét dấu như sau:
| x < 2 | 2 < x |
|---|---|
| – | + |
Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (-∞, 2); f(x) > 0 khi x ∈ (2, +∞).
Ví dụ 2: Xét dấu nhị thức f(x) = mx – 1 với m là một tham số đã cho.
Hướng dẫn:
- Nếu m = 0 thì f(x) = -1 < 0 với mọi x.
- Nếu m ≠ 0 thì f(x) là một nhị thức bậc nhất có nghiệm x0 = 1/m. Ta có bảng xét dấu nhị thức f(x) trong hai trường hợp m > 0 và m < 0 như sau:
Với m > 0:
| x < 1/m | 1/m < x |
|———|———|
| – | + |
Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (-∞, 1/m); f(x) > 0 khi x ∈ (1/m, +∞).
Với m < 0:
| x < 1/m | 1/m < x |
|———|———|
| + | – |
Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (-∞, 1/m); f(x) < 0 khi x ∈ (1/m, +∞).
Dạng 2.3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Phương pháp giải:
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: ax + by + c < 0, ax + by + c > 0, ax + by + c ≤ 0, ax + by + c ≥ 0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số.
- Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≤ 0, ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng d: ax + by + c = 0.
Bước 2: Lấy điểm M(x0,y0) không thuộc d.
Bước 3: Tính ax0 + by0 + c và so sánh ax0 + by0 + c với 0.
Bước 4: Kết luận:- Nếu ax0 + by0 + c < 0 thì nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≤ 0.
- Nếu ax0 + by0 + c > 0 thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≤ 0.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình sau: x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 – x).
Hướng dẫn: Đầu tiên, thu gọn bất phương trình đề bài đã cho về thành 3x + 4y + 11 < 0.
Ta vẽ đường thẳng d: 3x + 4y + 11 = 0.
Ta thấy (0; 0) là không là nghiệm của bất phương trình 3x + 4y + 11 < 0.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng (không kể bờ d) không chứa điểm (0; 0).
Ví dụ 2: Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình: 2x – 2y + 2 ≤ 2 – 2x.
Hướng dẫn: Trước hết, ta vẽ đường thẳng d: 2x – 2y + 2 = 2 – 2x.
Ta thấy (0; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho (vì 2 – 2 = 0).
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm (0; 0).
Dạng 2.4: Xét dấu một biểu thức
a. Phương pháp giải:
- Trước tiên ta biến đổi biểu thức P(x) về dạng gồm tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. Sau đó, để xét dấu biểu thức P(x), ta thực hiện như sau:
Bước 1: Tìm các nghiệm P(x) hoặc những điểm làm cho P(x) không xác định (tức nghiệm của mẫu thức, nếu có).
Bước 2: Lập bảng xét dấu của P(x).
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu để kết luận.
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức f(x) = 2 – x^2/x + 1.
Hướng dẫn: Ta có: f(x) = 2 – x^2/x + 1 = (2x + 1 – x^2)/(x + 1).
Ta có: x = 0; x – 2 = 0 ⇔ x = 2 và x + 1 = 0 ⇔ x = -1.
Bảng xét dấu:
| x < -1 | -1 < x < 0 | 0 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| – | + | – | + |
Từ bảng xét dấu ta thấy:
- f(x) > 0 khi x ∈ (-1, 0) ∪ (2, +∞).
- f(x) < 0 khi x ∈ (-∞, -1) ∪ (0, 2).
- f(x) = 0 khi x = -1.
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức f(x) = mx – 1 với m là một tham số đã cho.
Hướng dẫn:
Ta có: f(x) = mx – 1.
- Khi m = 0 thì f(x) = -1 < 0 với mọi x.
- Khi m ≠ 0 thì f(x) là một nhị thức bậc nhất có nghiệm x0 = 1/m. Ta có bảng xét dấu nhị thức f(x) trong hai trường hợp m > 0 và m < 0 như sau:
Với m > 0:
| x < 1/m | 1/m < x |
|---|---|
| – | + |
Từ bảng xét dấu ta có:
- f(x) < 0 khi x ∈ (-∞, 1/m).
- f(x) > 0 khi x ∈ (1/m, +∞).
Với m < 0:
| x < 1/m | 1/m < x |
|---|---|
| + | – |
Từ bảng xét dấu ta có:
- f(x) > 0 khi x ∈ (-∞, 1/m).
- f(x) < 0 khi x ∈ (1/m, +∞).
Dạng 2.5: Giải bất phương trình bậc nhất quy về việc xét dấu một tích hoặc một thương
a. Phương pháp giải:
- Giải bất phương trình P(x) > 0 (P(x) < 0; P(x) ≤ 0; P(x) ≥ 0) thực chất là xét xem biểu thức P(x) nhận giá trị dương (giá trị âm) với những giá trị nào của x, tức là ta đi xét dấu biểu thức P(x).
b. Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 2 − x + 3x − 1 ≤ 6.
Hướng dẫn: Ta có: 2 − x + 3x − 1 ≤ 6
⇔ 2 − x + 3x − 1 − 6 ≤ 0
⇔ 4x − x − 5 ≤ 0
⇔ 3x − 5 ≤ 0
⇔ x ≤ 5/3.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (-∞, 5/3].
