Bài viết này sẽ giới thiệu cho bạn cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách chi tiết và dễ hiểu. Bạn sẽ được hướng dẫn cụ thể và mô tả rõ ràng các bước giải, đồng thời làm quen với các bài tập ứng dụng thực tế. Cùng khám phá bài viết sau đây.
Mục lục
1. Một số ví dụ về bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Để đơn giản, chúng ta hiểu bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bất phương trình mà có chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối.
Chúng ta cùng xem các ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn.
Ví dụ:
- |x – 5| = 3 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- |2x + 1| < 7 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- |x^2 – 9| ≤ 5 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- |x + 4| > 2 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- |3x – 2| ≥ 1 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
2. Các cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
2.1. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối
Đầu tiên, chúng ta nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối:
|x| = x, nếu x ≥ 0
|x| = -x, nếu x < 0
Dựa vào định nghĩa, ta hình thành các bước giải như sau:
- Bước 1: Giải bất phương trình trong trường hợp: x ≥ 0
- Bước 2: Giải bất phương trình trong trường hợp: x < 0
- Bước 3: Kết hợp hai trường hợp trên và kết luận
Chúng ta cùng xem một số ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình |2x – 3| ≤ 5
Bước 1: Với x ≥ 0, ta được bất phương trình: 2x – 3 ≤ 5
Giải phương trình: 2x ≤ 8
Ta được: x ≤ 4
Bước 2: Với x < 0, ta được bất phương trình: -(2x – 3) ≤ 5
Giải phương trình: -2x + 3 ≤ 5
Ta được: -2x ≤ 2
Bước 3: Từ hai trường hợp trên, ta kết luận nghiệm của bất phương trình là x ≤ 4
Ví dụ 2: Giải bất phương trình |3x + 2| > 1
Bước 1: Với x ≥ 0, ta được bất phương trình: 3x + 2 > 1
Giải phương trình: 3x > -1
Ta được: x > -1/3
Bước 2: Với x < 0, ta được bất phương trình: -(3x + 2) > 1
Giải phương trình: -3x – 2 > 1
Ta được: -3x > 3
Dùng máy tính để tìm nghiệm, ta được: x < -1
Bước 3: Từ hai trường hợp trên, ta được nghiệm của bất phương trình là x < -1/3
2.2. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế
Để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta bình phương hai vế bất phương trình như sau:
(x – a)^2 = b^2
Sau khi bình phương, ta kết hợp các bước giải như bất phương trình bình thường.
Một số ví dụ giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế.
Ví dụ 3: Giải bất phương trình |x – 2| ≤ 3
Dựa vào công thức, ta bình phương hai vế bất phương trình như sau:
(x – 2)^2 ≤ 3^2
Áp dụng hằng đẳng thức cho cả hai vế bất phương trình:
x^2 – 4x + 4 ≤ 9
Đến đây ta giải bất phương trình như bình thường (chuyển vế đổi dấu):
x^2 – 4x – 5 ≤ 0
Vậy nghiệm của bất phương trình là x ≤ -1 hoặc x ≥ 5
Ví dụ 4: Giải bất phương trình |2x + 1| < 7
Dựa vào công thức, ta bình phương hai vế bất phương trình như sau:
(2x + 1)^2 < 7^2
Áp dụng hằng đẳng thức cho cả hai vế bất phương trình:
4x^2 + 4x + 1 < 49
Đến đây ta giải như bất phương trình bình thường (chuyển vế đổi dấu):
4x^2 + 4x – 48 < 0
Dùng máy tính để tìm nghiệm, ta được: -4 < x < 3
Vậy nghiệm của bất phương trình là -4 < x < 3
2.3. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách lập bảng xét dấu
Trong cách này, ta sẽ dùng kết hợp bảng xét dấu giữa các nhị thức bậc nhất, các tam thức bậc hai hoặc giữa nhị thức bậc nhất và bậc hai để giải bất phương trình.
Chúng ta cùng xem một số ví dụ dưới đây để hiểu hơn.
Ví dụ 5: Giải bất phương trình |x – 3| ≥ 2
Ta có bảng xét dấu như sau:
-∞ 3 +∞
(-∞ -2 0 +∞)
+ - + +Bỏ dấu của từng giá trị tuyệt đối và đưa lên bảng xét dấu:
(x - 3) ≥ 2
(x - 3) ≤ -2Từ bảng trên, ta chia ra làm 3 trường hợp.
Trường hợp 1: (x – 3) ≥ 2
Ta được: x ≥ 5
Trường hợp 2: (x – 3) ≤ -2
Vì 1 > 2 vô lý nên ta loại trường hợp 2.
Trường hợp 3: (x – 3) < -2
Ta được: x < 1
Vậy từ 3 trường hợp trên, ta được nghiệm của bất phương trình là x < 1 hoặc x ≥ 5
Ví dụ 6: Giải bất phương trình |2x + 4| > 3
Ta có bảng xét dấu như sau:
-∞ -2 -1/2 +∞
(-∞ 1 0 +∞)
- + - -Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của vế trái và đưa lên bảng xét dấu:
(2x + 4) > 3
(2x + 4) < -3Từ bảng trên, ta chia ra làm 3 trường hợp.
Trường hợp 1: (2x + 4) > 3
Ta được: x > -1/2
Trường hợp 2: (2x + 4) < -3
Ta được: x < -7/2
Trường hợp 3: -3 < (2x + 4) < 3
Ta được: -7/2 < x < -1/2
Vậy từ 3 trường hợp trên, ta được nghiệm của bất phương trình là x < -7/2 hoặc -1/2 < x < +∞
Như vậy, chúng ta đã tìm hiểu cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách chi tiết và dễ hiểu. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ và tự tin hơn trong việc áp dụng phương pháp giải này vào các bài tập thực tế.
