Bất phương trình mũ là một dạng bài tập quan trọng trong đề thi Đại học môn Toán lớp 12. Để giúp học sinh ôn tập và đạt điểm cao trong bài thi này, chúng ta cần biết phương pháp giải và làm quen với các ví dụ minh họa.
Mục lục
- 1. Phương pháp giải
- 2. Ví dụ minh họa
- 2.1. Ví dụ 1. Giải bất phương trình 3×2 − 9x + 6 > 3x − 3
- 2.2. Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình
- 2.3. Ví dụ 3. Bất phương trình 4×2 − 6x − 16 > 16x + 2 có số nghiệm nguyên dương ?
- 2.4. Ví dụ 4. Giải bất phương trình 32x+1 > 10
- 2.5. Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2
- 2.6. Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình là
- 2.7. Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình là
- 2.8. Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0 là
- 2.9. Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.10. Ví dụ 10. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.11. Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.12. Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.13. Ví dụ 13. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.14. Ví dụ 14. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.15. Ví dụ 15. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.16. Ví dụ 16. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.17. Ví dụ 17. Tập nghiệm của bất phương trình là:
- 2.18. Ví dụ 18. Cho bất phương trình: . Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
- 2.19. Ví dụ 19. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm?
- 2.20. Ví dụ 20. Cho bất phương trình: 9x − 2(m + 1).3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng ∀x > 1 .
- 2.21. Ví dụ 21. Cho hàm số và g(x)=5x + 4x. ln5. Giá trị nguyên lớn nhất của x sao cho f’(x) < g’(x) là.
- 2.22. Ví dụ 22. Gọi x0 là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình . Tìm x0 ?
- 2.23. Ví dụ 23. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là.
- 2.24. Ví dụ 24. Giải bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0
- 2.25. Ví dụ 25. Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình: 9x − 2(m + 1).3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x
Phương pháp giải
Bất phương trình dạng af(x) > ag(x) (a > 0; a ≠ 1)
- Nếu a > 1 thì af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).
- Nếu 0 < a < 1 thì af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).
Bất phương trình dạng af(x) > b (a > 0; a ≠ 1)
- Nếu b ≤ 0 thì ax > b ⇔ x ∈ R.
- Nếu a > 1 thì ax > b ⇔ x > logab.
- Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax > b ⇔ x < logab.
Bất phương trình dạng ax > b (a > 0; a ≠ 1)
- Nếu b ≤ 0 thì ax < b ⇔ x ∈ ø.
- Nếu a > 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x < logab.
- Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x > logab.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải bất phương trình 3×2 − 9x + 6 > 3x − 3
A. 1 < x < 9 B. x > 1 C. x < 9 D. x > 9 hoặc x < 1
Lời giải: Đáp án: D
Bất phương trình 3×2 − 9x + 6 > 3x − 3 ⇔ x2 − 9x + 6 > x − 3 (vì cơ số 3 > 1).
⇔ x2 − 10x + 9 > 0
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình
A. 6 B. 8 C. 7 D. 9
Lời giải: Đáp án: C
Điều kiện: x ∈ R (*)
Ta có:
⇔ x2 − 6x + 4 < 4x − 5 (vì cơ số )
⇔ x2 − 10x+ 9 < 0 hay 1 < x < 9
Mà x nguyên nên x ∈ { 2, 3, 4.., 7, 8}. Vậy có 7 giá trị nguyên của x thỏa mãn.
Ví dụ 3. Bất phương trình 4×2 − 6x − 16 > 16x + 2 có số nghiệm nguyên dương ?
A.11 B. 0 C.1 D. Vô số.
Lời giải: Đáp án: D
Điều kiện: x ∈ R (*)
Ta có: 4×2 − 6x − 16 > 16x + 2 ⇔ 4×2 − 6x − 16 > 42(x + 2)
Do cơ số 2 > 1 nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình : x2 − 6x − 16 > 2(x + 2)
⇔ x2 − 8x − 20 > 0
x < −2 hoặc x > 10
Do đó, bất phương trình đã cho có vô số số nghiệm nguyên dương.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình 32x+1 > 10
Lời giải: Đáp án: B
Điều kiện: x ∈ R (*)
Ta có: 32x+1 > 10 ⇔ 2x + 1 > log310
⇔ 2x > log310 − 1
Ví dụ 5. Giải bất phương trình 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2
Lời giải: Đáp án: A
Điều kiện: x ∈ R (*)
Bất phương trình: 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2
Ví dụ 6. Tập nghiệm của bất phương trình là
A. x ∈ (−∞; 5). B. x ∈ (−∞; 5) C. x ∈ (−5; +∞) D. x ∈ (5; +∞)
Lời giải: Đáp án: A
Ví dụ 7. Tập nghiệm của bất phương trình là
Lời giải: Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ −1
Ví dụ 8. Tập nghiệm của bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0 là
A. x ≤ log43. B. x > log43. C. x ≥ 1. D. x ≥ 3
Lời giải: Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ −1
Ta có: 16x − 4x − 6 ≤ 0 ⇔ 42x − 4x − 6 ≤ 0
Đặt t= 4x ( t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
t2 − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3
Mà t > 0 nên 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log43
Ví dụ 9. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: A
Ta có:
Đặt t= 3x > 0, khi đó ( *) trở thành:
Ví dụ 10. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: A
Ví dụ 11. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: A
Ta có:
Đặt t=3x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
Ví dụ 12. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: C
Ta có:
Đặt t=2x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
Ví dụ 13. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: A
Ta có:
Ví dụ 14. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: A
Đặt . Khi đó, phương trình ( *) trở thành:
Ví dụ 15. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: C
Đặt . Khi đó, phương trình ( *) trở thành:
Ví dụ 16. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: C
Ta có:
Ví dụ 17. Tập nghiệm của bất phương trình là:
Lời giải: Đáp án: C
Điều kiện: x ≥ 0
Đặt t = 2√x. Do x ≥ 0 => t ≥ 1
Ví dụ 18. Cho bất phương trình: . Tìm tập nghiệm của bất phương trình.
A. S = (−1; 0] ∪ (1; +∞) B. S = (−1; 0] ∩ (1; +∞)
C. S = (−∞; 0] D. S = (−∞; 0)
Lời giải: Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ ±1
Ta có:
Kết hợp với điều kiện
Ví dụ 19. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình có nghiệm?
A. m ≤ 2. B. m ≥ 4. C. m ≤ 4. D. m ≥ 1
Lời giải: Đáp án: C
Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin2x > 0 , ta được
Xét hàm số là hàm số nghịch biến.
Ta có: 0 ≤ sin2x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4.
Ví dụ 20. Cho bất phương trình: 9x − 2(m + 1).3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng ∀x > 1 .
A. m = −1 B.m = −2 C. m = 0 D. m = −3
Lời giải: Đáp án: A
Đặt t= 3x ; (t > 0) .
Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình:
t2 − 2(m + 1)t − 3 − 2m > 0 đúng với mọi m (*)
Cách 1:
Suy ra, số nguyên lớn nhất của m thỏa mãn là m = −1.
Cách 2:
Ví dụ 21. Cho hàm số và g(x)=5x + 4x. ln5. Giá trị nguyên lớn nhất của x sao cho f’(x) < g’(x) là.
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
Lời giải: Đáp án: B
Ta có:
Khi đó: f’(x) < g’(x) ⇔ 52x+1.ln 5 < (5x + 4).ln 5
⇔ 52x+1 < 5x +4 ⇔ 5.52x − 5x − 4 < 0
Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn đầu bài là x = −1.
Ví dụ 22. Gọi x0 là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình . Tìm x0 ?
Lời giải: Đáp án: C
Bất phương trình tương đương:
Do đó,nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình đã cho là x0 = 2.
Ví dụ 23. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là.
A. 2 B. 4 C. 3 D. vô số.
Lời giải: Đáp án: B
Ta thấy: (3 − 2√2).(3 + 2√2) = 9 − 8 = 1 nên:
Vậy bất phương trình đã cho có 4 nghiệm nguyên .
Ví dụ 24. Giải bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0
A. x ≤ log43. B. x > log43. C. x ≥ 1. D. x ≥ 3
Lời giải: Đáp án: A
Điều kiện: x ≠ −1
Ta có: 16x − 4x − 6 ≤ 0 ⇔ 42x − 4x − 6 ≤ 0
Đặt t= 4x ( t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:
t2 − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3
Mà t > 0 nên 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log43
Ví dụ 25. Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình: 9x − 2(m + 1).3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x
A. m = −1 B.m = −2 C. m = 0 D. m = −3
Lời giải: Đáp án: A
Đặt t= 3x ; (t > 0).
Khi đó bất phương trình có dạng: t2 < t < m ≥ 0
Ta có
BBT:
Khi đó:
Vậy
