Bài toán 1 (Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cho tích phân)
Cho f,g là các hàm khả tích trên đoạn [a,b]. Khi đó ta luôn có:
∫(a->b) f^2(x)dx ∫(a->b) g^2(x)dx ≥ ( ∫(a->b) f(x)g(x)dx)^2
Chứng minh: Với mọi t ∈ ℝ, xét bình phương ta luôn có:
∫(a->b) (tf(x)+g(x))^2 dx ≥ 0
Điều này tương đương với:
h(t) = ∫(a->b) f^2(x)dx t^2 + 2∫(a->b) f(x)g(x)dx t + ∫(a->b) g^2(x)dx ≥ 0, ∀ t ∈ ℝ
Trường hợp 1: ∫(a->b) f^2(x)dx = 0 ⇒ f(x) = 0, bất đẳng thức đã cho là đẳng thức.
Trường hợp 2: ∫(a->b) f^2(x)dx > 0. Đây là tam thức bậc 2, hệ số a dương và luôn không âm, tức đại lượng Delta luôn không dương. Điều này tương đương với Δ’ = (∫(a->b) f(x)g(x)dx)^2 – ∫(a->b) f^2(x)dx ∫(a->b) g^2(x)dx ≤ 0.
Vì vậy, ∫(a->b) f^2(x)dx ∫(a->b) g^2(x)dx ≥ ( ∫(a->b) f(x)g(x)dx)^2.
Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f = kg, với k là hằng số tự do.
Bài toán 2 (Bất đẳng thức Holder tích phân cho các hàm khả tích)
Cho f, g là các hàm khả tích trên [a,b]. Khi đó ta có:
| ∫(a->b) f(x)g(x)dx | ≤ ( ∫(a->b) |f(x)|^p dx)^(1/p) * ( ∫(a->b) |g(x)|^q dx)^(1/q)
trong đó p,q là các số thực dương thoả mãn 1/p + 1/q = 1.
>>Xem thêm Thi Online – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 01)
>>Xem thêm Thi Online – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 02)
>>Xem thêm Thi Online – Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tích phân (Đề số 03)
CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ:
Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1]. Biết f(1) = 4 và ∫(0->1) xf(x)dx = 1, ∫(0->1) [f'(x)]^2 dx = 20. Tích phân ∫(0->1) f(x)dx bằng
A. 1/6.
B. 3/2.
C. 4.
D. 2/3.
Giải: Tích phân từng phần ta có: 1 = ∫(0->1) xf(x)dx = ∫(0->1) f(x)d(1/2x^2) = (1/2)x^2f(x)|_(0->1) – ∫(0->1) (1/2x^2)f'(x)dx
⇒ 1 = (1/2)f(1) – (1/2)∫(0->1) (1/2x^2)f'(x)dx
⇒ ∫(0->1) (1/2x^2)f'(x)dx = 2
Mặt khác, [∫(0->1) (1/2x^2)f'(x)dx]^2 ≤ ∫(0->1) x^4dx ∫(0->1) [f'(x)]^2 dx = (1/5) * 20 = 4
Do đó, dấu bằng phải xảy ra tức f'(x) = kx^2 ⇒ f(x) = (kx^3)/3 + 4 – k/3 ( với f(1) = 4 )
⇒ 1 = ∫(0->1) xf(x)dx = ∫(0->1) x[(kx^3)/3 + 4 – k/3]dx
⇒ k = 10
⇒ ∫(0->1) f(x)dx = ∫(0->1) [(10x^3+2)/3]dx = 3/2. Đáp án B.
>>Xem thêm Cập nhật Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2023 môn Toán có lời giải chi tiết