Cực trị số phức: Giải bài tập và các bất đẳng thức

Cực trị số phức là một chủ đề khá phổ biến trong toán học. Để giải các bài tập liên quan đến cực trị số phức, chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức số phức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng toán về số phức cũng như cực trị số phức. Các bài toán sẽ được giải thích một cách rõ ràng và chi tiết.

Bài tập cực trị số phức

Phương pháp giải toán cực trị số phức

Việc giải một bài toán cực trị số phức có thể được thực hiện theo hai phương pháp sau đây:

• Phương pháp đại số
• Phương pháp hình học

Cả hai phương pháp này đều có thể được sử dụng song song để giải quyết bài toán. Lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào sự hiểu biết và lựa chọn của từng người khi đối mặt với dạng toán.

Kiến thức cần nắm về số phức

Bất đẳng thức tam giác:

• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, với dấu “=” khi z1 = kz2 (k ≥ 0)
• |z1 – z2| ≤ |z1| + |z2|, với dấu “=” khi z1 = kz2 (k ≤ 0)
• |z1 + z2| ≥ ||z1| – |z2||, với dấu “=” khi z1 = kz2 (k ≤ 0)
• |z1 – z2| ≥ ||z1| – |z2||, với dấu “=” khi z1 = kz2 (k ≥ 0)

Công thức trung tuyến:

|z1 + z2|^2 + |z1 – z2|^2 = 2(|z1|^2 + |z2|^2)

Tập hợp điểm:

• |z – (a + bi)| = r: Đường tròn tâm I(a; b) bán kính r
• |z – (a1 + b1i)| = |z – (a2 + b2i)|: Đường trung trực của AB với A(a1; b1), B(a2; b2)
• |z – (a1 + b1i)| + |z – (a2 + b2i)| = 2a: Đoạn thẳng AB với A(a1; b1), B(a2; b2) (nếu 2a = AB)
• Elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm với độ dài trục lớn là 2a (nếu 2a > AB)
• |z + c| + |z – c| = 2a: Elip (E) : x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 with b = √(a^2 − c^2)

Câu hỏi phổ biến về cực trị trong số phức

Dưới đây là một số câu hỏi phổ biến liên quan đến cực trị số phức:

• Cho số phức Z, mô đun lớn nhất của Z là gì?
• Trong các số phức Z thỏa mãn yêu cầu đề bài, tìm số phức Z có mô đun nhỏ nhất?
• Cho số phức Z thỏa mãn, giá trị nhỏ nhất của |Z| là bao nhiêu?
• Cho số phức Z thỏa mãn điều kiện cho trước, biểu thức |Z| có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
• Cho số phức Z thỏa mãn điều kiện cho trước, biểu thức Q = m.z + n.|z| đạt giá trị nhỏ nhất tại z = ai + b. Tính giá trị của biểu thức P = a – 4b.

Với những kiến thức vừa được tìm hiểu, chúng ta đã có cái nhìn tổng quan về cực trị số phức, bất đẳng thức số phức cũng như một số bài tập đặc trưng. Các dạng toán số phức thường được sử dụng trong các bài toán trắc nghiệm. Do đó, các bạn học sinh cần chú ý đến phần số phức để đạt điểm cao. Các bài tập số phức thường mang tính chất kế thừa, do đó, các dạng toán lặp đi lặp lại nhiều. Để học tốt, chỉ cần nắm vững một dạng toán nhất định.

Xem thêm: Bất đẳng thức trị tuyệt đối