Tính tích vectơ với một số là một khái niệm cơ bản trong toán học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu lý thuyết và giải những bài tập liên quan đến tích này. Hãy cùng nhau khám phá!
Mục lục
1. Lý thuyết cơ bản về tích vectơ với một số
1.1. Định nghĩa tích vectơ với một số
Tích của một vectơ với một số được định nghĩa như sau: Cho một số thực $k neq 0$, vectơ $vec{a} neq 0$. Tích của vectơ $vec{a}$ với một số thực $k neq 0$ là một vectơ, kí hiệu $kvec{a}$, cùng hướng với vectơ $vec{a}$ nếu $k > 0$, ngược hướng với vectơ $vec{a}$ nếu $k < 0$, vecto $kvec{a}$ có độ dài bằng $|k|cdot |vec{a}|$. Ta có quy ước: $0vec{a}=0$ và $kvec{0}=vec{0}$.
1.2. Tính chất tích của vectơ với một số
Tích của vectơ với một số có các tính chất sau:
a, Tính phân phối với phép cộng vectơ:
$$k(vec{m}+vec{n})=kvec{m}+kvec{n}$$
b, Tính phân phối với phép cộng các số:
$$(a+b)vec{x}=avec{x}+bvec{x}$$
c, Tính kết hợp:
$$a(vec{bc})=(ab)vec{c}$$
d, $1vec{a}=vec{a}$, $(-1)vec{a}=-vec{a}$
e, $kvec{a}=0 Leftrightarrow k=0$ hoặc $vec{a}=vec{0}$
1.3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ $vec{a}$ và $vec{b}$, với $vec{b} neq 0$, cùng phương là tồn tại một số $k$ sao cho $vec{a}=kvec{b}$. Ba điểm phân biệt $M, N, O$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số $k neq 0$ để $vec{MN}=kvec{MO}$.
1.4. Cách phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương
Cho vectơ $vec{a}$ và vectơ $vec{b}$ là hai vectơ không cùng phương. Khi đó, mọi vectơ $vec{k}$ đều được biểu diễn một cách duy nhất theo hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$: $vec{k}=mvec{a}+nvec{b}$, trong đó $m, n$ là các số thực duy nhất.
2. Một số bài tập tích của vectơ với một số
2.1. Tính độ dài vectơ
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa và các quy tắc cộng, trừ của các vectơ để tính độ dài vectơ. Kết hợp với các định lý Pythagoras, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài vectơ.
Ví dụ 1: Tam giác ABC đều, cạnh $a$, lấy M là trung điểm cạnh BC. Dựng các vectơ dưới đây và tính độ dài của chúng:
a, $vec{MA}+frac{1}{2} vec{CB}$
b, $vec{BA}-frac{1}{2} vec{BC}$
c, $2vec{AC}+frac{11}{2} vec{AB}$
d, $frac{5}{2}vec{MB}+frac{3}{4}vec{MA}$
Lời giải:
a, Ta có: $frac{1}{2}vec{CB}=vec{CM}$. Theo quy tắc 3 điểm ta được:
$frac{1}{2}vec{CB}+vec{MA}=vec{CM}+vec{MA}=vec{CA}$. Vậy: $|frac{1}{2}vec{CB}+vec{MA}|=|vec{CA}|=a$
b, Vì $vec{BM}=frac{1}{2}vec{BC}$ nên theo quy tắc trừ ta có:
$vec{BA}-frac{1}{2}vec{BC}=vec{BA}-vec{BM}=vec{MA}$. Theo định lý Pythagoras ta có: $|vec{MA}|=sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=sqrt{a^{2}-(frac{a}{2})^{2}}=frac{asqrt{3}}{2}$.
Vậy, $|vec{BA}-frac{1}{2}vec{BC}|=|vec{MA}|=frac{asqrt{3}}{2}$
c, Lấy điểm N là trung điểm của đoạn AB, Q đối xứng C qua A, P là đỉnh của hình bình hành APQN.
d, Lấy điểm K thuộc đoạn AM sao cho $MK=frac{3}{4}MA$, điểm H thuộc tia $vec{BM}$ sao cho $vec{MH}=frac{5}{2}vec{MB}$.
Ví dụ 2: Hình vuông ABCD có cạnh $a$.
a, Chứng tỏ rằng $vec{u}=avec{MA}-3vec{MB}+vec{MC}-2vec{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b, Tính $|vec{u}|$.
Lời giải:
a, Giả sử O là tâm hình vuông ABCD. Áp dụng quy tắc 3 điểm ta có:
$vec{u}=4vec{MO}+vec{OA}-3vec{MO}+vec{OB}+vec{MO}+vec{OC}-2vec{MO}+vec{OD}=4vec{OA}-3vec{OB}+vec{OC}-2vec{OD}$.
Mà: $vec{OD}=-vec{OB}$, $vec{OC}=-vec{OA}$ nên $vec{u}=3vec{OA}-vec{OB}$.
=> Vecto $vec{u}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b, Lấy A’ trên $vec{OA}$ sao cho $OA’=3OA$. Khi đó: $vec{OA’}=3vec{OA} Rightarrow vec{u}=vec{OA’}-vec{OB}=vec{BA’}$.
Mặt khác:
$|vec{BA’}|=sqrt{OB^{2}+(OA’)^{2}}=sqrt{OB^{2}+9OA^{2}}=asqrt{5} Rightarrow |vec{u}|=asqrt{5}$
2.2. Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước
Phương pháp giải:
-
Biến đổi đẳng thức vectơ thành dạng $vec{AN}=vec{a}$, điểm A và $vec{a}$ đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm N sao cho $vec{AN}=vec{a}$. Để dựng điểm N, ta lấy điểm A làm gốc, dựng một vectơ bằng vectơ $vec{a}$, từ đó suy ra được điểm ngọn là điểm N.
-
Biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng.
Ví du 1: Cho tứ giác ABCD. Tìm các điểm M,N,P sao cho:
a, $2vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}=vec{0}$
b, $vec{NA}+vec{NB}+vec{NC}+vec{ND}=vec{0}$
c, $3vec{PA}+vec{PB}+vec{PC}+vec{PD}=vec{0}$
Lời giải:
a, Giả sử điểm I là trung điểm đoạn BC. Ta có: $vec{MB}+vec{MC}=2vec{MI}$. Do đó: $2vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}=vec{0}$, $2vec{MA}+2vec{MI}=vec{0} Leftrightarrow vec{MA}+vec{MI}=vec{0}$. => Điểm M là trung điểm đoạn thẳng AI.
b, Giả sử K,H là trung điểm của AB, CD ta có: $vec{NA}+vec{NB}+vec{NC}+vec{ND}=vec{0} Leftrightarrow 2vec{NK}+2vec{NH}=vec{0}$ => Điểm N là trung điểm đoạn thẳng KH.
c, Giả sử G là trọng tâm của tam giác BCD ta có: $vec{PB}+vec{PC}+vec{PD}=3vec{PG} Leftrightarrow 3vec{PA}+vec{PB}+vec{PC}+vec{PD}=vec{0}$ => Điểm P là trung điểm đoạn thẳng AG.
Ví du 2: A, B là hai điểm cho trước, hai số thực $alpha, beta$ thỏa mãn $alpha+beta neq 0$. Chứng tỏ rằng: tồn tại duy nhất một điểm I sao cho $alphavec{IA}+beta vec{IB}=vec{0}$. Từ đó suy ra được $alphavec{MA}+beta vec{MB}=(alpha+beta)vec{MI}$ (M là điểm bất kỳ).
Lời giải:
Giả sử điểm I là điểm cần tìm. Ta cần chứng minh rằng $alphavec{IA}+beta vec{IB}=vec{0}$. Đặt $vec{MI}=vec{x}$. Khi đó ta có: $vec{IA}=vec{AI}+vec{x}=alphavec{IB}+vec{x}$. Điều này suy ra $vec{IA}-alphavec{IB}=2vec{x}$. Khi đó, ta có: $2vec{x}=vec{IA}-alphavec{IB}=vec{0} Rightarrow vec{x}=vec{0}$. Vậy, tồn tại duy nhất một điểm I làm cho $alphavec{IA}+beta vec{IB}=vec{0}$ và $vec{IA}=vec{IB}$. Từ đó suy ra $alphavec{MA}+beta vec{MB}=(alpha+beta)vec{MI}$.
2.3. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức: tính chất vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc phép trừ, tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác để biến đổi.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Hai điểm I,J là trung điểm của AB, CD. Điểm O là trung điểm của IJ. Chứng minh:
- $vec{BD}+vec{AC}=2vec{IJ}$
- $vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}+vec{OD}=vec{0}$
- Với điểm M bất kỳ: $vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}=4vec{MO}$
Lời giải:
- Giả sử điểm I là trung điểm đoạn AC, điểm J là trung điểm đoạn BD. Ta có: $vec{BD}+vec{AC}=2vec{IJ}$.
- Giả sử O là trung điểm của IJ. Ta có: $vec{OA}+vec{OB}+vec{OC}+vec{OD}=vec{0}$.
- Áp dụng tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm tam giác, ta có: $vec{MA}+vec{MB}+vec{MC}+vec{MD}=4vec{MO}$.
Hy vọng với bài viết này, các bạn đã hiểu thêm về tích của vectơ với một số và có thể áp dụng vào việc giải các bài tập liên quan. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để đăng ký khóa học và nâng cao kiến thức môn Toán của mình nhé!
