Bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những chủ đề quan trọng trong môn Toán 10. Để giúp các em ôn tập và rèn kỹ năng giải bài tập, chúng tôi xin giới thiệu tới các em bộ “500 Bài tập Toán 10 về bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (có đáp án năm 2024)”.
Kiến thức cần nhớ
1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by ≤ c, ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c.
- Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
- Cặp số x0;y0 được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức ax0 + by0 ≤ c đúng.
Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Ví dụ:
- 5x + 2y < 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- 5x + 2y – 3z > 3 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ về nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:
- Vì 5.(-1) + 2(-2) = -9 < 4 nên cặp số (-1; -2) là nghiệm của bất phương trình.
- Vì 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.
- Vì 5.(-1) + 2.2 = -1 < 4 nên cặp số (-1;2) là nghiệm của bất phương trình.
- Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó, bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (-1; -2); (0;0); (-1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.
2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:
- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ x, y thỏa mãn ax + by > c;
- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ x, y thỏa mãn ax + by < c;
- Bờ d gồm các điểm có tọa độ x, y thỏa mãn ax + by = c.
- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c:
- Vẽ đường thẳng d: ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
- Lấy một điểm M0 (x0; y0) không thuộc d.
- Tính ax0 + by0 và so sánh với c.
- Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình.
Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.
Bài viết liên quan:
Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 5x – 7y ≤ 0 trên mặt phẳng tọa độ:
- Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 5x – 7y = 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
- Bước 2: Lấy điểm M0(0, 1) không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức 5x – 7y ta được 5.0 – 7.1 = -7 < 0 là mệnh đề đúng.
- Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M0 (miền không bị gạch).
3. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- Cặp số x0, y0 là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi x0, y0 đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó.
Ví dụ:
- Hệ bất phương trình x + 2y < 9 và y – 2x > 9 có nghiệm là (-1; -2).
4. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ
- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.
- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:
- Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.
- Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
5. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F(x, y) = ax + by, với x, y là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác A1A2…An, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Ví dụ: Cho hệ bất phương trình hai ẩn: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 150. Giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ được biểu diễn bởi miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;150), B(150;0) và C(0;0). Các giá trị lớn nhất của F(x, y) = 3.5x + 2y đạt được tại các đỉnh của miền tứ giác là A(0;150) và B(150;0) với giá trị là 450.
