Hình thang, hình thang vuông, hình thang cân lớp 8 và cách giải
Hình thang là một dạng tứ giác lồi có hai cạnh đáy song song. Hình thang có hai cạnh đáy và hai cạnh bên. Ví dụ, nếu tứ giác ABCD có đường thẳng AB // CD, thì tứ giác đó là hình thang. Cạnh đáy là AB và CD, còn hai cạnh bên là BC và AD. Đặc biệt, tổng hai góc kề một cạnh bên của hình thang luôn bằng 180°: A^+D^=180°;B^+C^=180°.
Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Tính chất của hình thang cân bao gồm hai góc kề một đáy bằng nhau (A^=B^ ; C^=D^), hai cạnh bên bằng nhau (BC = AD) và hai đường chéo bằng nhau (AC = BD).
Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Ví dụ, nếu tứ giác ABCD có góc D^=90°, thì tứ giác đó là hình thang vuông.
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1. Tính số đo góc
Để tính số đo góc trong một hình thang, ta có thể sử dụng tính chất của hai đường thẳng song song và tổng bốn góc trong một tứ giác kết hợp với kiến thức đã học về hình thang, hình thang cân, hình thang vuông.
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, A^=3D^, B^−C^=30°. Tính số đo các góc của hình thang.
Lời giải:
Vì AB // CD, nên ta có A^+D^=180° (hai góc trong cùng phía).
Mà A^=3D^, nên 3D^+D^=180°.
Từ đó suy ra D^=45°, A^=3D^=45°3=135°.
Vì AB // CD, nên ta có: B^+C^=180° ().
Mà B^−C^=30°.
Thay vào (*), ta được:
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Biết A^=2D^. Tính các góc của hình thang.
Lời giải:
Vì AB // CD, ta có:
A^+D^=180° (hai góc trong cùng phía).
Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang cân hình thang vuông
Để chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang cân hay hình thang vuông, ta có thể sử dụng định nghĩa của chúng.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.
Lời giải:
Vì BD là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên D là trung điểm của AC.
⇒AD=12AC.
Vì CE là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên E là trung điểm của AB.
⇒AE=12AB.
Mà AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).
Do đó, ta có AD = AE.
Xét tam giác AED có AD = AE (chứng minh trên).
Do đó, ΔAED cân tại A.
Ta có:
A^+AED^+ADE^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
A^+2AED^=180° (do tam giác AED cân tại A nên AED^=ADE^).
2AED^=180°−A^.
AED^=180°−A^2.
Lại có: ΔABC cân tại A nên:
A^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác).
Suy ra: A^+2ABC^=180°.
2ABC^=180°−A^.
B^=180°−A^2.
Từ (1) và (2), ta có: ABC^=AED^.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, nên ED // BC.
⇒Tứ giác BCDE là hình thang.
Mặt khác, ΔABC cân tại A nên ABC^=ACB^ hay EBC^=DCB^.
Vậy hình thang BCDE là hình thang cân (do có hai góc kề một đáy bằng nhau).
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Dạng 3. Sử dụng các tính chất của hình thang, hình thang cân, hình thang vuông để chứng minh bài toán
Để chứng minh một bài toán liên quan đến hình thang, hình thang cân, hình thang vuông, ta có thể áp dụng các tính chất về cạnh và góc của chúng để giải quyết.
Ví dụ 1: Cho hình thang vuông ABCD có A^=D^=90°, AB = AD, DC = 2AB và BE vuông góc với CD tại E.
a) Chứng minh: ΔABD=ΔEDB.
b) Chứng minh: ∆BEC vuông cân tại E.
Lời giải:
a) Do ABCD là hình thang nên AB // CD.
⇒ABD^=BDC^ (hai góc so le trong).
Vì BE vuông góc với DC,
⇒BED^=90°.
Xét và tam giác ΔEDB ta có:
BD chung.
A^=BED^=90°.
ABD^=BDC^.
Do đó: ΔABD=ΔEDB (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Từ hai tam giác bằng nhau ở câu a, ta có:
AB = ED, AD = EB (các cặp cạnh tương ứng).
Mà AB=12CD⇒ED=12CD.
Suy ra E là trung điểm của CD.
⇒ED = AB = EC.
Mà AB = AD (giả thuyết).
Nên ED = AB = EC = AD = EB.
Xét tam giác BEC có:
EB = EC.
BEC^=90°.
Vậy ΔBEC là tam giác vuông cân tại E.
Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi G là giao điểm của AD và BC. Gọi F là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tam giác AGB cân tại G;
b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;
c) FC = FD.
Lời giải:
a) Vì AB // CD, nên ta có:
GAB^=ADC^(hai góc đồng vị).
GBA^=BCD^(hai góc đồng vị).
Mà ADC^=BCD^ (do ABCD là hình thang cân).
Do đó: GAB^=GBA^.
Xét tam giác AGB có:
GAB^=GBA^.
Nên tam giác AGB là tam giác cân tại G.
b) Xét hai tam giác ABD và BAC có:
AB chung.
AD = BC (do ABCD là hình thang cân).
AC = BD (do ABCD là hình thang cân).
Do đó: ΔABD=ΔBAC (c – c – c).
c) Ta có:
ADC^=ADB^+BDC^
BCD^=BCA^+ACD^
⇔ADC^−ADB^=BDC^BCD^−BCA^=ACD^
Mà ADB^=BCA^ (do ΔABD=ΔBAC); ADC^=BCD^ (ABCD là hình thang cân).
Do đó: BDC^=ACD^.
Xét tam giác FCD có:
FDC^=FCD^ (BDC^=ACD^).
Suy ra tam giác FCD cân tại F.
⇒FC = FD (điều phải chứng minh).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình thang ABCD có AB // CD, A^=3D^. Tính các góc của hình thang.
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD), có AH và BK là hai đường cao của hình thang.
a) Chứng minh: DH=CD−AB2.
b) Biết AB = 6cm, CD = 14cm, AD = 5cm. Tính DH, AH và diện tích hình thang ABCD.
Bài 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy CD sao cho KD = AD. Chứng minh:
a) AK là tia phân giác góc A.
b) KC = BC.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = 4cm. Vẽ về phía ngoài tam giác ACD vuông cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia phân giác của góc BCD^.
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD. Chứng minh EF vuông góc với AB.
Bài 7: Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Có AB = AD = 3cm, CD = 6cm. Tính số đo góc B, góc C.
Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đường phân giác của góc C và góc D cắt nhau tại I thuộc đáy AB. Chứng minh rằng tổng độ dài hai cạnh bên bằng độ dài AB của hình thang.
Bài 9: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng AC là tia phân giác của góc C.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên BC lấy điểm M sao cho CM = CA. Đường thẳng qua M song song với CA cắt AB tại I.
a) Tứ giác ACMI là hình gì?
b) AB + AC < AH + BC.
Xem thêm các dạng bài tập Toán hay, liên quan khác:
- 60 Bài tập về hình lăng trụ đứng (có đáp án năm 2024)
- 60 Bài tập về diện tích xung quanh của hình lăng trụ. Thể tích của hình lăng trụ (có đáp án năm 2024)
- 300 Bài tập Toán 8 chương 4: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều (có đáp án năm 2024)
- 70 Bài tập Hình lăng trụ đứng tam giác. Hình lăng trụ đứng tứ giác (có đáp án năm 2024)
- Diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác, lăng trụ đứng tứ giác