Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Dành cho những ai muốn nắm vững về hàm số liên tục trong Toán lớp 11

1. Hàm số liên tục là gì?

Hàm số liên tục là hàm số mà tại mọi điểm trong một khoảng xác định, hàm số đó đều liên tục. Một cách tổng quát, ta có định nghĩa chung như sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K. Khi đó, y = f(x) liên tục tại x₀ khi giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ là f(x₀).

Đồ thị của hàm số liên tục có dạng:

2. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và x₀ ∈ (a;b). Hàm số y được gọi là hàm số liên tục tại 1 điểm x₀ khi giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ bằng f(x₀).

Ngược lại, nếu giới hạn của f(x₀) không tồn tại thì ta gọi x₀ là điểm gián đoạn của f(x).

Nâng cao hơn, nếu ta có 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

• y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x) * g(x) sẽ liên tục tại điểm x₀.
• y = f(x) / g(x) là hàm số liên tục tại x₀ khi g(x₀) ≠ 0.

3. Hàm số liên tục trên một khoảng

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a;b) thì hàm số f(x) sẽ liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b). Đồ thị của hàm liên tục trên khoảng (a;b) được biểu diễn bằng một đường nét liền, không bị đứt gãy.

Các hàm số căn thức, phân thức, hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Ngoài ra, nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và thỏa mãn giới hạn của f(x) khi x tiến đến a (từ phải) bằng f(a) và giới hạn của f(x) khi x tiến đến b (từ trái) bằng f(b), thì đồ thị y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

4. Hàm số liên tục trên R

Hàm liên tục trên R là trường hợp đặc biệt của hàm số liên tục trên một khoảng.

Đối với một số hàm đa thức, chúng sẽ liên tục trên tập R mà không cần chứng minh, bao gồm: hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm đa thức, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.

5. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

Để áp dụng giải các bài tập liên quan đến hàm số liên tục, ngoài định nghĩa các loại hàm số liên tục, học sinh cần nắm chắc 3 định lý cơ bản sau đây:

Định lý 1:

• Hàm số đa thức là loại hàm số liên tục trên tập R.
• Hàm số thương của 2 đa thức (phân thức hữu tỉ) và các hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại x₀.
Ta có:

• y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x) * g(x) sẽ liên tục tại điểm x₀.
• y = f(x) / g(x) là hàm số liên tục tại x₀ khi g(x₀) ≠ 0.

Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn f(a) * f(b) < 0. Tồn tại ít nhất 1 điểm c thuộc đoạn (a;b) thỏa mãn f(c) = 0.

Định lý này thường dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên khoảng nhất định.

Định lý 3 còn có một dạng khác như sau:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn f(a) * f(b) < 0. Phương trình f(x) = 0 sẽ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (a;b).

6. Các dạng bài tập về hàm số liên tục và ví dụ cụ thể

6.1. Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Đây là dạng bài thường gặp trong chuyên đề hàm số liên tục. Để xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Tính giá trị f(x₀)
Bước 2: Tính giá trị giới hạn của f(x) khi x tiến đến x₀ hoặc từ trái hoặc từ phải
Bước 3: So sánh hai giá trị giới hạn và f(x₀), rồi kết luận

Ví dụ 1: Xét tính liên tục tại x = 1 của hàm số sau đây: f(x) = (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2)

Giải:
Hàm số đề bài xác định trên R {2} có x = 1 và f(1) = -3
Tính giới hạn hàm số tại điểm x = 1:
limx→1 f(x) = limx→1 (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2) = limx→1 (x – 1)(5x – 2) / (x – 1)(x – 2) = limx→1 (5x – 2) / (x – 2) = -3
Ta thấy: limx→1 f(x) = f(1) = -3. Suy ra hàm số đề bài liên tục tại x₀ = 1

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 1:

Giải:
Hàm số đề bài cho xác định tại x = 1 và f(1) = 1
Tính giới hạn trái tại x = 1:limx→1⁻ f(x) = limx→1⁻ 1 = 1
Tính giới hạn phải tại x = 1:limx→1⁺ f(x) = limx→1⁺ (2 – 7x +5x²) / (x² – 3x + 2) = limx→1⁺ (5x – 2) / (x – 2) = -3
Vì limx→1⁺ f(x) ≠ limx→1⁻ f(x) nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Đối với dạng bài tập này, học sinh cần áp dụng phối hợp 2 định lý 1 và 2 để xét tính liên tục của hàm số đề bài trên từng khoảng xác định của nó. Nếu hàm số đã cho xác định, các em học sinh tiếp tục xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số sau đây liên tục trên khoảng (-7;+)

Giải:

Trường hợp x < 0: f(x) = 2x – 1 là hàm số liên tục
Trường hợp x > 0: f(x) = √x là hàm số liên tục
Từ đó suy ra, ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 là có thể kết luận tính liên tục của hàm số đề bài.

limx→0⁺ f(x) = limx→0⁺ √x = 0
limx→0⁻ f(x) = limx→0⁻ (2x – 1) = -1

Xét thấy limx→0⁺ f(x) = f(0) ≠ limx→0⁻ f(x). Do đó, hàm số gián đoạn tại điểm x = 0.

Kết luận: hàm số không liên tục trên tập xác định.

Ví dụ 2: Tìm giá trị a để hàm số sau đây liên tục tại x = 2

Giải:

Từ hàm số cho xác định tại x = 2, ta có f(2) = a + 2.

Tính giới hạn hàm số tại x = 2:

limx→2 f(x) = limx→2 (x² – 4) / (x – 2) = limx→2 (x + 2) = 4.

Vậy, hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀ = 2 khi và chỉ khi:

limx→2 f(x) = f(2) ↔ 4 = a + 2 ↔ a = 2.

Kết luận: a = 2.

6.3. Dạng 3: Tìm điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm

Đây là dạng toán “tìm m” rất phổ biến trong các đề luyện thi và các đề kiểm tra trong chương trình học phổ thông. Phương pháp giải dạng toán này gồm có 3 bước:

Bước 1: Tìm điểm xác định x₀ của hàm số đề bài. Tính giá trị f(m) với m = x₀
Bước 2: Tính giới hạn của hàm số đề bài tại x₀
Bước 3: Hàm số f(x) liên tục tại x₀ khi và chỉ khi limx→x₀ f(x) = f(x₀)

Bước 4: Kết luận dựa theo yêu cầu đề bài.

Các em cùng xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục tại điểm x = 1

Giải:
Ta xét hàm số xác định tại x = 1 và f(1) = -3m + 1.
Tính giới hạn tại điểm x = 1:
limx→1 f(x) = limx→1 (2 – 7x + 5x²) / (x² – 3x + 2) = limx→1 (x – 1)(5x – 2) / (x – 1) = 3

Vậy hàm f(x) liên tục tại điểm x₀ = 1 khi:

limx→1 f(x) = f(1) ↔ 3 = -3m + 1 ↔ m = -4/3

Kết luận: m = -4/3

Ví dụ 2:

Giải:
Ta có limx→-2⁻ f(x) = limx→-2⁺ f(-2) ↔ -2a – 1 = -11 ↔ a = 5

Vậy giá trị a cần tìm là 5.

6.4. Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Đối với các bài toán tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một đoạn hoặc một tập xác định bất kỳ, học sinh làm tương tự dạng 3. Điểm khác biệt duy nhất là ở dạng 3 ta tìm điểm làm hàm số xác định, còn với dạng này ta tìm khoảng đoạn hoặc tập làm cho hàm số xác định.

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Giải:
Tập xác định của hàm số là R.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = (2 – 7x + 5x²) / (x – 1). f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập xác định là (-∞; 1) ∪ (1; +∞). Do đó f(x) cũng liên tục trên khoảng (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

Xét trường hợp x = 1 thì ta có f(1) = -3m -1:

limx→1 f(x) = limx→1 (2 – 7x +5x²) / (x² – 3x + 2) = limx→1 (5x – 2) / (x – 2) = -3

Vì limx→1 f(x) ≠ limx→1⁻ f(x) nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

Kết luận: hàm số không liên tục trên tập xác định.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau đây liên tục trên [0;+∞)

Giải:

limx→0⁺ f(x) = limx→0⁺ √(x+4) = 0

limx→∞ f(x) = limx→∞ (m + 2) = m + 2

Từ đó suy ra, hàm f(x) liên tục trên tổng hợp tập xác định nếu và chỉ nếu:

limx→0⁺ f(x) = f(0) ↔ 0 = √(0+4) ↔ 0 = 2

limx→∞ f(x) = f(∞) ↔ m + 2 = m + 2

Kết luận: m thỏa mãn m = 0.

6.5. Dạng 5: Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Ta cùng xét các ví dụ sau đây để hiểu về cách ứng dụng tính liên tục của hàm số chứng minh phương trình có nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình 3x³ + 2x – 2 = 0 có nghiệm trong (0; 1).

Giải:
Hàm số đề bài là hàm đa thức, cho nên f(x) liên tục trên R. Suy ra, f(x) cũng liên tục trên đoạn [0;1].

Ta có:
f(0) . f(1) = (-2) . (3) = -6 < 0

Do vậy, có ít nhất 1 số c trong (0; 1) sao cho f(c) = 0. Hay nói cách khác, phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình 2x³ – 6x² + 5 = 0 trong khoảng (-1;3) có 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài liên tục trên R, do đó f(x) liên tục trên các đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta thấy: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) . f(0) < 0
f(0) . f(2) < 0
f(2) . f(3) < 0

Vì vậy, phương trình đề bài có nghiệm trong các khoảng (-1;0),(0;2) và (2;3).

Từ đó ta có thể kết luận phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử dụng tính liên tục để xét dấu hàm số

Khi xét dấu hàm số có áp dụng tính liên tục của hàm số, học sinh cần sử dụng kết quả: “Nếu hàm số y = f(x) là hàm liên tục và không triệt tiêu trên [a;b] thì khi đó có dấu nhất định trên (a;b)”

Xét các ví dụ sau:

Ví dụ: Xét dấu của hàm số sau: f(x) = √(x+4) – √(1-x) – √(1-2x)

Giải:

Để xác định dấu của hàm số, ta cần xét các giá trị hàm số trên khoảng xác định của nó. Với phương trình này, ta cần xét trường hợp xác định của các căn bậc hai.

Ví dụ 1: Xét dấu của hàm số sau:

Giải:
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục với mọi x khác 1
Vì vậy để hàm số liên tục trên R thì limx→1⁺ f(x) = f(1) ↔ 5 = m + 2 ↔ m = 3
Vậy với m = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R

Ví dụ 2: Hàm số f(x) sau đây liên tục trên R khi nào?

y = f(x) = { 2x + 3, khi x ≥ 1
m + 2, khi x < 1 }

Giải:
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục với mọi x khác 1
Vì vậy để hàm số liên tục trên R thì limx→1⁺ f(x) = f(1) ↔ 5 = m + 2 ↔ m = 3
Vậy với m = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R

6.7. Bài tập và ví dụ cụ thể

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0

Giải:
Hàm số đề bài xác định tại x = 0 và f(0) = 2

Xét giới hạn trái tại điểm x = 0:
limx→0⁻ f(x) = limx→0⁻ (2x + 1/4) = 1/4

Xét giới hạn phải tại x = 0:
limx→0⁺ f(x) = limx→0⁺ √(x + 4) – 2/x = limx→0⁺ (x + 4 – 4)/(x√(x + 4)) = ∞

Xét thấy giới hạn phải không tồn tại hoặc không bằng 0, nên hàm số không liên tục tại x = 0.

Bài 2: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:

Giải:
Trường hợp x < 0: f(x) = 2x – 1 là hàm số liên tục
Trường hợp x > 0: f(x) = √x là hàm số liên tục

Từ đó suy ra, ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 là có thể kết luận tính liên tục của hàm số đề bài.

limx→0⁺ f(x) = limx→0⁺ √x = 0
limx→0⁻ f(x) = limx→0⁻ (2x – 1) = -1

Xét thấy limx→0⁺ f(x) = f(0) ≠ limx→0⁻ f(x). Do đó, hàm số gián đoạn tại x = 0.

Kết luận: hàm số không liên tục trên tập xác định.

Bài 3: Chứng minh phương trình ax² + bx + c = 0 luôn tồn tại nghiệm trong [0; 1/3] với mọi a ≠ 0 và thỏa mãn 2a + 6b + 19c = 0

Giải:
Để chứng minh phương trình ax² + bx + c = 0 luôn tồn tại nghiệm trong [0; 1/3], ta cần chứng minh hàm số f(x) = ax² + bx + c có ít nhất 1 cặp giá trị f(a) và f(b), với a và b thuộc [0; 1/3], có dấu khác nhau.

Ta có f(x) = ax² + bx + c

f(0) = c

f(1/3) = a(1/3)² + b(1/3) + c = a/9 + b/3 + c

Ta cần chứng minh để có ít nhất 1 cặp giá trị f(a) và f(b) có dấu khác nhau:

f(0) . f(1/3) = (c)(a/9 + b/3 + c)

Vì a ≠ 0, nên tồn tại giá trị của c để f(0) . f(1/3) < 0

Do đó, phương trình ax² + bx + c = 0 luôn tồn tại nghiệm trong khoảng [0; 1/3]

Bài 4: Tìm giá trị a để hàm số sau đây liên tục tại x = 2

Giải:
Từ hàm số cho xác định tại x = 2, ta có f(2) = a + 2.

Tính giới hạn hàm số tại x = 2:

limx→2 f(x) = limx→2 (x² – 4) / (x – 2) = limx→2 (x + 2) = 4

Vậy, hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀ = 2 khi:

limx→2 f(x) = f(2) ↔ 4 = a + 2 ↔ a = 2

Kết luận: a = 2.

Bài 5: Hàm số f(x) sau đây liên tục trên R khi nào?

y = f(x) = { 2x + 3, khi x ≥ 1
m + 2, khi x < 1 }

Giải:
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục với mọi x khác 1
Vì vậy để hàm số liên tục trên R thì limx→1⁺ f(x) = f(1) ↔ 5 = m + 2 ↔ m = 3
Vậy với m = 3 thì hàm số đã cho liên tục trên R

Đến đây, chúng ta đã tổng hợp được tất cả kiến thức và các dạng bài tập cơ bản về hàm số liên tục trong chương trình Toán lớp 11. Hy vọng rằng sau bài viết này, bạn đã nắm vững định nghĩa và các định lý để áp dụng làm bài tập. Đừng quên tham khảo thêm các tài liệu học tập trên Vuihoc.vn để mở ra cánh cửa tri thức và đạt kết quả tốt trong kỳ thi THPT Quốc gia nhé!