Bài tập 44,45,46, 47,48,49, 50,51,52 trang 86,87 SGK Toán lớp 9 tập 2: Cung chứa góc

Trong bài viết này, chúng ta sẽ giải quyết các bài tập 44, 45, 46, 47 trang 86 và bài tập 48, 49, 50, 51, 52 trang 87 trong sách giáo trình Toán lớp 9 tập 2 về chủ đề “Cung chứa góc – Chương 3 Hình học”.

Bài 44: Tim quỹ tích điểm I khi A thay đổi trong tam giác vuông ABC

Trong tam giác vuông ABC với cạnh BC cố định, gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Ta tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có: ∠I₁ = ∠A₁ + ∠B₁ (1) và ∠I₂ = ∠A₂ + ∠C₁ (2).

Cộng vế (1) và (2) ta được: ∠I₁ + ∠I₂ = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠A₂ + ∠C₁.

Suy ra: ∠I = 900 + 450 = 1350.

Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 1350 không đổi, vậy quỹ tích của I là góc cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn thẳng BC.

Bài 45: Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD

Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Ta tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Theo tính chất của hình thoi, các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau. Vì vậy, nếu cạnh AB cố định, giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi ABCD dưới góc 90° không đổi. Vậy quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD khi cạnh AB cố định là đường tròn đường kính AB.

Bài 46: Dựng một cung chứa góc 55° trên đoạn thẳng AB = 3cm

Trình tự dựng như sau:

• Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm).
• Dựng góc xAB = 55° (dùng thước đo góc và thước thẳng).
• Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng kẻ).
• Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chia khoảng và kẻ). Gọi O là giao điểm của d và Ay.
• Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa).

Ta có: Cung AmB là cung chứa góc 550° dựng trên đoạn thẳng AB = 3cm.

Bài 47: Chứng minh ∠AM1B > 550° và ∠AM2B < 550°

Gọi cung chứa góc 55° ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M1 nằm bên trong và điểm M2 nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M1, M2 và cung AmB nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

a) ∠AM1B > 550°
b) ∠AM2B < 550°

a) M1 là điểm bất kỳ nằm trong cung chứa góc 550° (hình a). Gọi B’ và A’ lần lượt là giao điểm của M1A, M1B với cung tròn. Vì ∠AM1B là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, suy ra:

∠AM1B = sđ cung(AB + A’B’)/2 = sđ cung AB/2 + sđ cung A’B’/2 = 550°+ (một số dương).

Vậy ∠AM1B > 550°.

b) M2 là điểm bất kỳ nằm ngoài đường tròn (hình b). M2A và M2B lần lượt cắt đường tròn tại A’ và B’. Vì ∠AM2B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, suy ra: ∠AM2B = sđ cung(AB – A’B’)/2 = sđ cung AB/2 – sđ cung A’B’/2 = 550° – (một số dương).

Vậy ∠AM2B < 550°.

Bài 48: Tìm quỹ tích các tiếp điểm từ A với các đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB

Cho hai điểm A và B cố định. Từ A, ta vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB. Ta tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA: Giả sử AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B. Với T là tiếp điểm.

Khi đó, AT ⊥ BT ⇒ ∠ATB = 900°. Điểm T nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông nnê quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

Trường hợp đường tròn tâm B, có bán kính bằng BA: Quỹ tích chỉ là điểm A.

Bài 49: Dựng ΔABC, biết BC = 6cm, ∠A = 40° và đường cao AH = 4cm

Trình tự dựng gồm 3 bước:

• Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.
• Dựng cung chứa góc 40° trên đoạn thẳng BC.
• Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC, lấy đoạn HH’ = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH’ tại H.

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là ∠A và ∠A’. Khi đó, ΔABC hoặc A’BC đều thỏa yêu cầu của đề toán.

Bài 50: Chứng minh ∠AIB không đổi và tìm tập hợp các điểm I

Cho đường tròn đường kính AB cố định. M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA, lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a) Chứng minh ∠AIB không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

a) Vì ∠BMA = 900° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong Δvuông MIB có tg∠AIB = MB/MI = 1/2 ⇒ ∠AIB = 26034’.

Vậy ∠AIB không đổi.

b) Phần thuận:
Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB, điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26°34’. Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26°34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung AmB và Am’B).

Phần đảo:
Lấy điểm I’ bất kì thuộc cung AmB hoặc cung Am’B, I’A cắt đường tròn đường kính AB tại M’.

Δvuông BMT, có tg∠I’ = M’B/M’I’ = tg26034’.

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung chứa góc AmB và Am’B.

Bài 51: Chứng minh B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC với ∠A = 600°. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’.

Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Xét tứ giác AB’HC’, ta có:
∠B’HC’ = 3600 -(∠A + ∠B’ + ∠C’)
= 3600 – (600 + 900 + 900) = 1200°
⇒ ∠BHC = 1200° (đối đỉnh với góc B’HC’)

Trong ΔBIC ta có:
∠BIC = 1800 – (∠IBC + ∠ICB) = 1800 – (∠B/2 + ∠C/2)
= 1800 – 1/2(1800 – ∠A) = 1800 – 1/2(1800 – 600) = 1200°

Như vậy, H, I đều nằm trên cung chứa góc 1200° dựng trên BC.

Mặt khác, ΔABC nội tiếp trong đường tròn tâm O nên góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O) có số đo: 600° = ∠BAC = 1/2sđ cung BC = 1/2 ∠BOC ⇒∠BOC = 1200°

Vậy O cùng nằm trên cung chứa góc 1200° dựng trên BC. Điều này có nghĩa là 5 điểm B, C, O, H, I nằm trên cùng một đường tròn chứa cung chứa góc 1200° dựng trên BC.

Bài 52: Tính góc sút của quả phạt đền 11 mét và tìm hai vị trí khác trên sân có cùng góc sút

” Góc sút ” của quả phạt đền 11 mét có bao nhiêu độ ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32 mét. Chúng ta hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng ” góc sút ” như quả phạt đền 11 mét.

Chúng ta gọi BC là bề rộng của cầu môn BC = 7,32 mét.

Bóng được đặt ở vị trí A sao cho ΔABC cân tại A có đường cao AH = 11 mét. Khi đó, ” góc sút ” là góc BAC.

Chúng ta có: ΔABC cân tại A.
⇒ HB = HC = 3,66 mét (đường cao AH cũng là trung tuyến).
⇒ tg∠A₁ = HB/AH = 3,66/11 = 0,3327.

⇒ ∠A₁ ≈ 18040′ ⇒ ∠BAC ≈ 2.18040’ = 37020’.

Vậy ” góc sút ” của quả phạt đền là: 37020’.

Điểm A nhìn BC dưới một góc 37020’ dựng trên đoạn BC.