Luyện tập bài §4 với việc giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, trong Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, tập hai sách giáo khoa Toán 9. Bài tập giải số 22, 23, 24, 25, 26, 27 trang 19 và 20 trong sách giáo khoa toán 9 tập 2 gồm các công thức tổng hợp, lý thuyết và phương pháp giải để giúp các em học sinh hiểu và học tốt môn Toán lớp 9.
Mục lục
Lý thuyết
1. Quy tắc cộng đại số
Quy tắc cộng đại số được sử dụng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc này bao gồm hai bước:
- Bước 1: Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình trong hệ phương trình đã cho để có được một phương trình mới.
- Bước 2: Dùng phương trình mới này thay thế cho một trong hai phương trình trong hệ (giữ nguyên phương trình còn lại).
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
- Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).
- Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được để tìm nghiệm của hệ đã cho.
Dưới đây là hướng dẫn giải bài 22, 23, 24, 25, 26, 27 trang 19, 20 trong sách giáo khoa Toán 9 tập 2. Các bạn hãy đọc kỹ đầu bài trước khi thực hiện.
Luyện tập
Giaibaisgk.com giới thiệu với các bạn phương pháp giải bài tập phần đại số 9 kèm bài giải chi tiết cho các bài 22, 23, 24, 25, 26, 27 trang 19, 20 trong sách giáo khoa Toán 9 tập 2, Bài §4 – Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số, Chương III – Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Dưới đây là nội dung chi tiết của từng bài tập:
1. Giải bài 22 trang 19 sgk Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
a) Hệ phương trình:
- (-5x + 2y = 4)
- (6x – 3y = -7)
b) Hệ phương trình:
- (2x – 3y = 11)
- (-4x + 6y = 5)
c) Hệ phương trình:
- (3x – 2y = 10)
- (x – frac{2}{3}y = frac{10}{3})
Bài giải:
a) Nhân phương trình đầu tiên với 3, phương trình thứ hai với 2, sau đó cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta được:
- (-15x + 6y = 12)
- (12x – 6y = -14)
Từ đây, ta có:
- (-3x = -2)
- (-15x + 6y = 12)
Giải phương trình (-3x = -2), ta có (x = frac{2}{3}).
Thay (x = frac{2}{3}) vào (6y = 12 + 15 cdot x), ta có (6y = 22).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (left(frac{2}{3}, frac{11}{3}right)).
b) Nhân hai vế phương trình đầu tiên với 2, ta được:
- (4x – 6y = 22)
- (-4x + 6y = 5)
Từ đây, ta có:
- (4x – 6y = 22)
- (0x – 0y = 27) (vô lý)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
c) Đổi hỗn số về phân số, sau đó nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:
- (3x – 2y = 10)
- (3x – 2y = 10)
Từ đây, ta có:
- (3x – 2y = 10)
- (x in mathbb{R})
- (3x – 2y = 10)
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
2. Giải bài 23 trang 19 sgk Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình sau:
- ((1 + sqrt{2})x + (1 – sqrt{2})y = 5)
- ((1 + sqrt{2})x + (1 + sqrt{2})y = 3)
Bài giải:
Xét hệ:
- ((1 + sqrt{2})x + (1 – sqrt{2})y = 5)
- ((1 + sqrt{2})x + (1 + sqrt{2})y = 3)
Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:
- ((1 – sqrt{2})y – (1 + sqrt{2})y = 5 – 3)
- ((- sqrt{2} – sqrt{2})y = 2) (hay (-2sqrt{2}y = 2))
- (y = frac{-2}{2sqrt{2}}) (hay (y = frac{-sqrt{2}}{2})) (1)
Thay (1) vào phương trình thứ nhất, ta được:
- ((1 + sqrt{2})x + (1 – sqrt{2})frac{-sqrt{2}}{2} = 5)
- ((1 + sqrt{2})x + frac{-sqrt{2}}{2} + frac{sqrt{2} cdot sqrt{2}}{2} = 5)
- ((1 + sqrt{2})x + frac{-sqrt{2}}{2} + 1 = 5)
- ((1 + sqrt{2})x = 5 – frac{-sqrt{2}}{2} – 1)
- ((1 + sqrt{2})x = frac{8 + sqrt{2}}{2}) (hay (x = frac{8 + sqrt{2}}{2(1 + sqrt{2})}))
- (x = frac{(8 + sqrt{2})(1 – sqrt{2})}{2(1 + sqrt{2})(1 – sqrt{2})})
- (x = frac{8 – 8sqrt{2} + sqrt{2} – 2}{2(1 – 2)})
- (x = frac{6 – 7sqrt{2}}{-2}) (hay (x = frac{7sqrt{2} – 6}{2}))
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: (left(frac{7sqrt{2} – 6}{2}, frac{-sqrt{2}}{2}right))
3. Giải bài 24 trang 19 sgk Toán 9 tập 2
Giải hệ các phương trình sau:
a) [2(x + y) + 3(x – y) = 4]
[(x + y) + 2 (x – y) = 5]
b) [2(x -2) + 3(1+ y) = -2]
[3(x -2) – 2 (1+ y) = -3]
Bài giải:
a) Cách 1: Thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn
[2(x+y)+3(x-y) =4]
[4x+4y+3x-3y =4]
[7x+y = 4 (1)]
[3(x+y)+2(x-y) =5]
[3x+3y+2x-2y =5]
[5x+y =5 (2)]
Giải hệ ((1)) và ((2)): (begin{cases}7x+y = 45x+y = 5 end{cases})
Từ đó, ta có (begin{cases}7x = 4-y 5x = 5-y end{cases})
So sánh hai đẳng thức, ta có (y = dfrac{4 – 5}{2})
Thay (y) vào ((1)) hoặc ((2)) ta có (7x=4-(4-5) = -1) hoặc (5x = 5-(4-5) = 5)
Suy ra (x = dfrac{-1}{7}) hoặc (x = 1)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (left(dfrac{-1}{7}; 1right)).
b) Cách 2: Đặt ẩn phụ
Đặt (begin{cases} x+y=u x-y=v end{cases}) ta có hệ phương trình mới là ((u, v)):
[begin{cases} 2u + 3v = 4 2u – 2v =5 end{cases} (1)]
Từ ((1)), ta có (begin{cases}2u = 4-3v2u =5+2v end{cases})
So sánh hai đẳng thức, ta có (v = dfrac{4-5}{-3})
Thay (v) vào (2u = 5+2v) ta có (2u = 5 -2 +dfrac{2}{3})
Suy ra (u = dfrac{7}{3})
Với ((u = dfrac{7}{3}, v = dfrac{-1}{3})) thay lại cách đặt, ta được:
((u = dfrac{7}{3}, v = dfrac{-1}{3}) Rightarrow left (x+y = dfrac{7}{3}, x-y = dfrac{-1}{3} right))
Giải hai phương trình trên, ta có (x=-dfrac{1}{7}) và (y=1)
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (left(dfrac{-1}{7}; 1right)).
4. Giải bài 25 trang 19 sgk Toán 9 tập 2
Ta biết rằng một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:
[P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n -10)]
Bài giải:
Ta có:
[P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n -10)]
Để [P(x) = 0] ta cần và đủ để (3m – 5n + 1 = 0) và (4m – n -10 = 0).
Giải hệ phương trình:
[begin{cases}
3m – 5n + 1 = 0
4m – n -10 = 0
end{cases}]
Từ đó, ta có:
[begin{cases}
3m – 5n = -1 (1)
4m – n = 10 (2)
end{cases}]
Giải đẳng thức (1) – 5 * (2), ta có:
[3m – 5n – 20m + 5 = -5 – 50 ]
[17m – 5n = -55 (3)]
Suy ra:
[begin{cases}
17m – 5n = -55
3m – 5n = -1
end{cases}]
Giải đẳng thức (3) – 17 * (2):
[17m – 5n – 51m + 17 = -55 – 170 ]
[-34m – 5n = -225 (4)]
Từ (3) và (4), ta có:
[-34m – 5n = -225 (4)]
[17m – 5n = -55 (3)]
Nếu chúng ta thực hiện phép cộng từng vế của (4) và (3), ta được:
[-34m + 17m = -225 – 55 ]
[-17m = -280 ]
[m = frac{-280}{-17} = frac{160}{17} ]
Thay m = ( frac{160}{17}) vào (3) ta được n:
[17m – 5n = -55 ]
[17.frac{160}{17} – 5n = -55 ]
[160 – 5n = -55 ]
[5n = 160 + 55 = 215 ]
[n = frac{215}{5} = 43 ]
Vậy, m = ( frac{160}{17} ) và n = 43 là các giá trị thỏa mãn.
