Chào bạn đến với bài viết mới! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải quyết bài toán thú vị trong sách giáo trình Toán 9 tập 2, phần 14, trang 72.
Đường Kính Đi Qua Điểm Chính Giữa Của Một Cung
Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh một quy tắc thú vị: “Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung cũng đi qua trung điểm của dây căng cung đó.”
Giả sử chúng ta có một đường tròn (O) với dây AB và I là điểm chính giữa của cung AB. Chúng ta cần chứng minh rằng đường kính (IK) đi qua trung điểm của dây (AB).
Theo định nghĩa điểm chính giữa, ta có (IA = IB) và (OA = OB) vì I là điểm chính giữa của cung AB. Vậy (HA = HB).
Chứng minh tiếp theo: Vì tam giác AOB là tam giác cân tại O và (HA = HB), nên ta có một góc phân giác tại O, ký hiệu là (O1O2).
Từ đó, ta có (IA = IB). Vậy điều đảo ngược chứng minh là đúng.
Tuy nhiên, điều này không đúng nếu dây AB đi qua tâm đường tròn. Nếu (AB) tạo với (IK) góc (AOI = 30^∘) thì (BOI = 150^∘) và (IA < IB) vì (AOI < BOI).
Tóm lại, để mệnh đề đảo đúng, chúng ta cần thêm một điều kiện: Đường kính chỉ đi qua trung điểm của một dây nếu không đi qua tâm của đường tròn.
Đường Kính Vuông Góc Với Dây Căng Cung
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng “Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung là đường vuông góc với dây căng cung đó và ngược lại.”
Xét đường tròn (O) với dây AB và I là điểm chính giữa của cung AB. Ta cần chứng minh rằng đường kính (IK) là đường trung trực của dây (AB).
Do đó, ta có (OA = OB) vì I là điểm chính giữa của cung AB. Vậy (IK) là đường trung trực của dây (AB).
Điều ngược lại cũng đúng: Đường kính vuông góc với dây khi qua tâm sẽ đi qua hai điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Để chứng minh điều này, chúng ta kẻ đường kính (KI) vuông góc với dây (AB).
Tiếp theo, chúng ta có tam giác (OAB) cân tại O. Vì (OH || AB), ta có hai góc bằng nhau, ký hiệu là (O1O2).
Từ đó, ta có hai tam giác (OAI) và (OBI) đồng dạng (c.g.c).
Do đó, ta có (AI = IB) và (IA = IB), suy ra (IA = IB).
Vậy (I) là điểm chính giữa của cung (AB).
Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về quy tắc này và cách chứng minh chúng.
Hãy tiếp tục theo dõi để khám phá thêm nhiều kiến thức bổ ích trong Toán học.
