Phân tích bài toán
Trong bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng:
Mục lục
- Đối với các số thực dương a, b, c thay đổi, ta có: $frac{1}{{a + 2}} + frac{1}{{b + 2}} + frac{1}{{c + 2}} = 1$
- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = frac{1}{{sqrt {2left( {{a^2} + {b^2}} right)} + 4}} + frac{1}{{sqrt {2left( {{b^2} + {c^2}} right)} + 4}} + frac{1}{{sqrt {2left( {{c^2} + {a^2}} right)} + 4}}$
Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh phần 1 của bài toán.
Chứng minh tổng đồng dạng bằng 1
Ta có:
$frac{1}{{a + 2}} + frac{1}{{b + 2}} + frac{1}{{c + 2}} = 1$
Từ đó, ta sẽ chứng minh rằng:
$(b + 2)(c + 2) + (a + 2)(c + 2) + (a + 2)(b + 2) = (a + 2)(b + 2)(c + 2)$
Phân tích biểu thức
Phân tích biểu thức trên, ta có:
$(b + 2)(c + 2) + (a + 2)(c + 2) + (a + 2)(b + 2) = bc + 2(b + c) + 4 + ac + 2(a + c) + 4 + ab + 2(a + b) + 4$
$= ab + bc + ca + 4(a + b + c) + 12 = abc + 2ab + 2c(a + b) + 4(a + b) + 4c + 8$
Rút gọn biểu thức, ta có:
$abc + ab + bc + ca = 4$
Từ đó, chúng ta đã chứng minh được phần 1 của bài toán.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P
Sau đó, chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = frac{1}{{sqrt {2left( {{a^2} + {b^2}} right)} + 4}} + frac{1}{{sqrt {2left( {{b^2} + {c^2}} right)} + 4}} + frac{1}{{sqrt {2left( {{c^2} + {a^2}} right)} + 4}}$
Áp dụng các bất đẳng thức Cô-si với các số dương $(x, y)$, ta có: $(x + y le sqrt {2left( {{x^2} + {y^2}} right)})$ và $left(frac{1}{{x + y}} le frac{1}{4}left(frac{1}{x} + frac{1}{y}right)right)$
Từ đó, ta có:
$frac{1}{{sqrt {2left( {{a^2} + {b^2}} right)} + 4}} le frac{1}{{a + b + 4}} = frac{1}{{a + 2 + b + 2}} le frac{1}{4}left(frac{1}{{a + 2}} + frac{1}{{b + 2}}right)$
$frac{1}{{sqrt {2left( {{b^2} + {c^2}} right)} + 4}} le frac{1}{{b + c + 4}} = frac{1}{{b + 2 + c + 2}} le frac{1}{4}left(frac{1}{{b + 2}} + frac{1}{{c + 2}}right)$
$frac{1}{{sqrt {2left( {{a^2} + {c^2}} right)} + 4}} le frac{1}{{a + c + 4}} = frac{1}{{a + 2 + c + 2}} le frac{1}{4}left(frac{1}{{a + 2}} + frac{1}{{c + 2}}right)$
Từ đó, ta suy ra:
$P = frac{1}{{sqrt {2left( {{a^2} + {b^2}} right)} + 4}} + frac{1}{{sqrt {2left( {{b^2} + {c^2}} right)} + 4}} + frac{1}{{sqrt {2left( {{a^2} + {c^2}} right)} + 4}} le frac{1}{4} cdot 2left(frac{1}{{a + 2}} + frac{1}{{b + 2}} + frac{1}{{c + 2}}right) = frac{1}{2}left(frac{1}{{a + 2}} + frac{1}{{b + 2}} + frac{1}{{c + 2}}right) = frac{1}{2}$
Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức P là $frac{1}{2}$.
Chúng ta đã chứng minh xong các phần của bài toán.
Chọn C là kết quả đúng.